AX?b?b?0?的一个解相矛盾。(9分). 有上可知，?1,?2?n?r,?线性无关。(10分)
(试卷二)
一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分） 1. 排列6573412的逆序数是 ．
2x2.函数f(x)? ?x1?x2?1x中x3的系数是 ． x*?113．设三阶方阵A的行列式A?3,则(A)= A/3 ． 4．n元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是 ．
??2???T5．设向量??(1,?2,?1)，?=???正交，则?? ．
?2???6．三阶方阵A的特征值为1，?1，2，则A＝ ．
?12?1????1?7. 设A?02?1，则A?_________.
???003???8. 设A为8?6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．
9．设A为n阶方阵，且A＝2 则(?1?1A)?A*? ． 3??200???1???210．已知A??2x2?相似于B???311?????
二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）
???，则x? ，y? ． y??1. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则－5A等于 ． (A) (?5)D (B)-5D (C) 5D (D)(?5)2. n阶方阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是 .
- 6 -
nn?1D
(A) 矩阵A有n个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A有n个特征值 (C) 矩阵A的行列式A?0 (D) 矩阵A的特征方程没有重根
3．A为m?n矩阵，则非齐次线性方程组AX?b有唯一解的充要条件是 ．
(A)R(A,b)?m (B)R(A)?m (C)R(A)?R(A,b)?n (D)R(A)?R(A,b)?n 4.设向量组A能由向量组B线性表示，则( )
(A)．R(B)?R(A)
(B)．R(B)?R(A)
(C)．R(B)?R(A) (D)．R(B)?R(A) 5. 向量组?1,?2,,?s线性相关且秩为r，则 ．
(A)r?s (B) r?s (C) r?s (D) s?r
三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）
222?2222?2223?221. 计算n阶行列式: D? .
??????222?n?12222?2n?220???2．已知矩阵方程AX?A?X，求矩阵X,其中A??213?.
?010???
3. 设n阶方阵A满足A?2A?4E?0,证明A?3E可逆，并求(A?3E)212?1.
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:
- 7 -
?x1?x2?x3?2x4?3?2x?x?3x?8x?8?1234 ???3x1?2x2?x3?9x4??5??x2?2x3?3x4??45．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
?2??1??2??3?????????1??4,??1,??3,??234???????5?.
?2??0??1??2?????????2226．已知二次型：f(x1,x2,x3)?2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3，
用正交变换化f(x1,x2,x3)为标准形，并求出其正交变换矩阵Q．
四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）
设b1?a1, b2?a1?a2 ,
, br?a1?a2??ar, 且向量组a1,a2,?,ar线性无关，证
明向量组b1,b2,?,br线性无关.
(答案二)
一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）
?12?1?n1?11?（－1）1?1. 17 2. -2 3．A4．R(A)?n5．???26．-27．A或 29、10、x?0,y??2 02?18．
??2366??003??二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）
121、
解：D
ri?r2(i?3,4,?,n)000 ------4分
??????000?n?30000?0n?2222201???2222- 8 -
10 r2?2r1
22???2?2?2?22?200100 -------7分
???????n?30000?000n?20 ?1?(?2)?1?2???(n?3)?(n?2)??2(n?2)! ---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。） 2．求解AX?A?X，其中
?22 A??0??213???
?010?? 解：由AX?A?X得
X??A?E??1A (3分)
?120240r??100?226? ?A?E,A?????203213? (6分)
??01020?3??01?1010?????0012?1?3???分)
?所以 X???226??20?3??? (10分) ?2?1?3??3．解：利用由A2?2A?4E?0可得：(A?3E)(A?E)?E?0 --------5分 即 (A?3E)(A?E)?E ------7分 故A?3E可逆且(A?3E)?1?(A?E)--------10分
4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．
??x1?x2?x3?2x4?3??2x1?x2?3x3?8x4?8??3x1?2x 2?2x3?9x4??5??x1?2x2?3x3??4??11123??11123? 解：(Ab)??2?1388?1?2?3?4???r???32?1?9?5??0???00112?? (2分)
?01?2?3?4??00000??- 9 -
(8
?1?r0 ??0??0010002?1?0?1?0 (4分)则有 ?112?00?0?x1?2x4?1??x2?x4?0 (6分) ?x?x?2?34?x1???2??1???????x1??0?2???取x4为自由未知量，令x4?c，则通解为： c?R (8分) ?c??x3???1??2???????x???1??0??4???2???1对应齐次线性方程组的基础解系为：?? (10分)
??1????1?5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．
?2??1??2??3?????????1??4,??1,??3,??234???????5?. 解：
?2??0??1??2??????????2123???4135???2012????2123??2123?????0?1?1?10111?????0?1?1?1??0000???????1?2?3?4?=
1??
101??2??0111?? ?0000?????
(2分) ?1,?2为一个极大无关组. (4分) 设 ?3?x1?1?x2?2， ?4?y1?1?y2?2
1?x?? 解得 ?12，
??x2?1?y1?11???1??，. (8分) 则有 ?32
2?y2?1?4??1?? 2
2226 解 f(x1,x2,x3)?2x1?5x2?5x3?4x1x2?4x1x3?8x2x3
2?2??2?2? (2分)的特征多项式 ?(?)??(??1)2(??10)
5?4 f的矩阵 A?A???5???2?4?(4分)
?0??4??1??????2?
?1??2?1的两个正交的特征向量 p1?1, p2??1 ?3?10的特征向量 p3???????????1???1????2??- 10 -
线性代数试题及答案
