线性代数（试卷一）
一、 填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。
2. 若
a11a21a12?1，则a21a220a113a123a22600? 1B?1?CA3. 已知n阶矩阵A、B和C满足ABC?E，其中E为n阶单位矩阵，则4. 若A为m?n矩阵，则非齐次线性方程组AX_________
5. 设A为8?6的矩阵，已知它的秩为4，则以A为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为
__2___________。 6. 设A为三阶可逆阵，A?1。
?b有唯一解的充分要条件是
?100?????210?，则A*? ?321???7.若A为m?n矩阵，则齐次线性方程组Ax?0有非零解的充分必要条件是
138.已知五阶行列式D?11T201134104112521，则A41?A42?A43?A44?A45? 354321____。 9. 向量??(?2,1,0,2)的模（范数）__________10.若???1k
二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组?1,?2,?,?r线性相关且秩为s，则(D) Ａ．r?s Ｂ．r?s
Ｃ．s?r Ｄ．s?r
2. 若A为三阶方阵，且A?2E?0,2A?E?0,3A?4E?0，则A?(A)
Ａ．8 Ｂ．?8
- 1 -
1?与???1?21?正交，则k? TT
Ｃ．
4 3 Ｄ．?4 33．设向量组A能由向量组B线性表示，则( d )
Ａ．R(B)?R(A) Ｃ．R(B)?R(A)
Ｂ．R(B)?R(A)
Ｄ．R(B)?R(A)
4. 设n阶矩阵A的行列式等于D，则
?n??kA??等于_____。c
n?1 (A)kA (B)kA (C) kA? (D) A?
5. 设n阶矩阵A，B和C，则下列说法正确的是_____。
(A)AB?AC 则 B?C (B) AB?0,则A?0或B?0 (C) (AB)?AB (D) (A?B)(A?B)?A?B
三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）
TTT22222?2222?2223?221. 计算n阶行列式D? 。
??????222?n?12222?2n2．设A为三阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且A?3．求矩阵的逆
*121，求(3A)?1?2A*. 2?111???A??2?11?
?120???
?x1?x2??x3??2?4. 讨论?为何值时，非齐次线性方程组?x1??x2?x3??
??x?x?x?1?123 ① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
- 2 -
?x1?x2?x3?x4?2? ?2x1?3x2?x3?x4?1 ?x?2x?2x?534?1TT???1?131???????1023??1135126.已知向量组、、3T、
?4??1249?T、?5??1125?，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该
T最大无关组线性表示．
??110???7. 求矩阵A???430?的特征值和特征向量．
?102???四、证明题（本题总计10分）
设?为AX?b?b?0?的一个解，?1,?2证明?1,?2?n?r为对应齐次线性方程组AX?0的基础解系，
?n?r,?线性无关。
（答案一）
一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）
?100???1~15；2、3；3、CA；4、R?A??R(A,b)?n；5、2；6、?210?；7、R?A??n；8、0；9、3；10、1。.
?321???二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D；2、A；3、D；4、C；5、B 三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）
121、
解：D
ri?r2(i?3,4,?,n)000 ------3分 ??????000?n?30000?0n?2222201???22221022???2?2?2?22?200100 r2?2r1 -------6分
???????n?30000?000n?20- 3 -
?1?(?2)?1?2???(n?3)?(n?2)??2(n?2)! ----------8分 （此题的方法不唯一，可以酌情给分。）
?111??121??111???????解：（1）AB?2A???111??13?1??2??111?------1分
?1?11??214??1?11???????22??242??464??2?????? ??222????222???400?------5分
?206??2?22??024???????13??593???4?80??1??????227?--------8分 （2）A?B???111???210?6????3?11?3?11??111117???8?12?16???????3. 设A为三阶矩阵，A为A的伴随矩阵，且A?*11*，求(3A)?1?2A*. 因AA＝AE?E，故22A*?An?1?11* 3分 A?1?A?2A* 5分 4A32416?4?1(3A)?2A?A*?2A*??A*?????? 8分
3327?3?4?1*0100???10??r2?r14、解： (A,E)??1?10010?r3?r1?1?1?1001??0100???10???0?10110?---3分 ?01?1101???0???100100?r1?(?1)?100?10???? ?0?10110?r2?(?1)?010?1?10?---6分
r3?r2?????00?1211?r3?(?1)?001?2?1?1?0???10??1??1 故A???1?10?-------8分 （利用A?1?） A公式求得结果也正确。
A??2?1?1?????111?r1?r3??5、解；(A,b)??1?1??r2?r1?11??2?r??r1??3?11???0??11???01??1??2??2??2????r3?r2 1??3???1?1??2??21????? ?0??1?---------3分
?0?20(2??)(1??)(1??)(1??)?? （1）唯一解：R(A)?R(A,b)?3
??1且???2 ------5分
- 4 -
（2）无穷多解：R(A)?R(A,b)?3 （3）无解：R(A)?R(A,b)
??1 --------7分
） ???2 --------9分 （利用其他方法求得结果也正确。
5??1022?11112????r????01?1?1?3?--------3分 6、解：(A,b)??23111???0000?10225?0???????2???2??????x1?2x3?2x4?0?1??1??? ? 基础解系为 ?1??，-----6分 2???10?x2?x3?x4?0?????1??0??????5????x1?2x3?2x4?5??3?x?x?0?? ? 令3，得一特解：4?0?---7分 故原方程组的通解为： x?x?x??334?2???0????5???2???2????????31?????1???k1?1?k2?2????k1???k2??，其中k1,k2?R---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给
010???????0??0??1???????分。）
?1??7、解：特征方程A??E?13??0002???(??2)(??1)2 从而?1?2,?2??3?1 (4分)
?41T当?1?2时，由(A?2E)X?0得基础解系?1?(0,0,1)，即对应于?1?2的全部特征向量为k1?1(k1?0) (7
分)
T当?2??3?1时，由(A?E)X?0得基础解系?2?(?1,?2,1)，即对应于?2??3?1的全部特征向量为
k2?2(k2?0)
四、证明题（本题总计10 分） 证： 由?1,?2?n?r为对应齐次线性方程组AX?0的基础解系，则?1,?2?n?r线性无关。(3分)
反证法：设?1,?2分)
?n?r,?线性相关，则?可由?1,?2?n?r线性表示，即：???1?1????r?r (6
因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故?必是AX?0的解。这与已知条件?为
- 5 -
线性代数试题及答案
