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选修2-2 1.5.3 定积分的概念
一、选择题
1．定积分?3(－3)dx等于( )
?1
A．－6 C．－3 [答案] A
B．6 D．3
[解析] 由积分的几何意义可知?3(－3)dx表示由x＝1，x＝3，y＝0及y＝－3所围成的
?1
矩形面积的相反数，故?3(－3)dx＝－6.
?1
2．定积分?bf(x)dx的大小( )
?aA．与f(x)和积分区间[a，b]有关，与ξi的取法无关 B．与f(x)有关，与区间[a，b]以及ξi的取法无关 C．与f(x)以及ξi的取法有关，与区间[a，b]无关 D．与f(x)、区间[a，b]和ξi的取法都有关 [答案] A
[解析] 由定积分定义及求曲边梯形面积的四个步骤知A正确． 3．下列说法成立的个数是( )
nb①?f(x)dx＝?f(ξi)
?a?ai＝1
b－a nb－a无限趋近的值 nb－a无限趋近的常数 n②?bf(x)dx等于当n趋近于＋∞时，f(ξi)·
nb③?f(x)dx等于当n无限趋近于＋∞时，?f(ξi)
?a?ai＝1
④?bf(x)dx可以是一个函数式子 A．1 C．3 [答案] A
[解析] 由?bf(x)dx的定义及求法知仅③正确，其余不正确．故应选A.
B．2 D．4
?a4．已知?3f(x)dx＝56，则( )
?1
A.?2f(x)dx＝28
?1?1
B.?3f(x)dx＝28
?2?1
C.?22f(x)dx＝56 [答案] D
D.?2f(x)dx＋?3f(x)dx＝56
?2
[解析] 由y＝f(x)，x＝1，x＝3及y＝0围成的曲边梯形可分拆成两个：由y＝f(x)，x＝1，x＝2及y＝0围成的曲边梯形知由y＝f(x)，x＝2，x＝3及y＝0围成的曲边梯形．
∴?3f(x)dx＝?2f(x)dx＋?3f(x)dx
?1?1
?1?2
?2
即?2f(x)dx＋?3f(x)dx＝56. 故应选D.
5．已知?bf(x)dx＝6，则?b6f(x)dx等于( )
?a?aA．6 C．36 [答案] C
B．6(b－a) D．不确定
[解析] ∵?bf(x)dx＝6，
?a∴在?b6f(x)dx中曲边梯形上、下底长变为原来的6倍，由梯形面积公式，知?b6f(x)dx?a?a＝6?bf(x)dx＝36.故应选C.
?a??x (x≥0)，
6．设f(x)＝?x?2 (x<0)，?
2
则?1－1f(x)dx的值是( )
?
[答案] D
[解析] 由定积分性质(3)求f(x)在区间[－1,1]上的定积分，可以通过求f(x)在区间[－1,0]与[0,1]上的定积分来实现，显然D正确，故应选D.
7．下列命题不正确的是( ) A．若f(x)是连续的奇函数，则B．若f(x)是连续的偶函数，则
C．若f(x)在[a，b]上连续且恒正，则?bf(x)dx>0
?aD．若f(x)在[a，b)上连续且?bf(x)dx>0，则f(x)在[a，b)上恒正
?a[答案] D
[解析] 本题考查定积分的几何意义，对A：因为f(x)是奇函数，所以图象关于原点对称，所以x轴上方的面积和x轴下方的面积相等，故积分是0，所以A正确．对B：因为f(x)是偶函数，所以图象关于y轴对称，故图象都在x轴下方或上方且面积相等，故B正确．C显然正确．D选项中f(x)也可以小于0，但必须有大于0的部分，且f(x)>0的曲线围成的面积比f(x)<0的曲线围成的面积大．
[答案] B
9．利用定积分的有关性质和几何意义可以得出定积分?1－1[(tanx)11
＋(cosx)21
?
]dx＝( A．2?1[(tanx)11
＋(cosx)21
?]dx
0
B．0
C．2?1(cosx)21
?dx
0
D．2 [答案] C
[解析] ∵y＝tanx为[－1,1]上的奇函数，
∴y＝(tanx)11
仍为奇函数，而y＝(cosx)21
是偶函数， ∴原式＝?1－1(cosx)21
dx＝2?1(cosx)21
?
?dx.故应选C.
0
10．设f(x)是[a，b]上的连续函数，则?bf(x)dx－?b?f(t)dt的值( )
a?aA．小于零 B．等于零
)
C．大于零 [答案] B
D．不能确定
[解析] ?bf(x)dx和?bf(t)dt都表示曲线y＝f(x)与x＝a，x＝b及y＝0围成的曲边梯
?a?a形面积，不因曲线中变量字母不同而改变曲线的形状和位置．所以其值为0.
二、填空题
11．由y＝sinx，x＝0，x＝[答案]
π
，y＝0所围成的图形的面积可以写成________． 2
[解析] 由定积分的几何意义可得． 12.?6(2x－4)dx＝________.
?0
[答案] 12
[解析] 如图A(0，－4)，B(6,8)
S△AOM＝×2×4＝4 S△MBC＝×4×8＝16
∴?6(2x－4)dx＝16－4＝12.
12
12
?0
13．(2010·新课标全国理，13)设y＝f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x)≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分?1f(x)dx.先产生两组(每组N个)区间[0,1]上的均匀随机
?0
数x1，x2，…，xN和y1，y2，…，yN，由此得到N个点(xi，yi)(i＝1,2，…，N)．再数出其中满足yi≤f(xi)(i＝1,2，…，N)的点数N1，那么由随机模拟方法可得积分?1f(x)dx的近似值
?0
为________．
[答案]
N1
N[分析] 本题考查了几何概型、积分的定义等知识，难度不大，但综合性较强，很好的考查了学生对积分等知识的理解和应用，题目比较新颖．
[解析] 因为0≤f(x)≤1且由积分的定义知：?1f(x)dx是由直线x＝0，x＝1及
?0
曲线y＝f(x)与x轴所围成的面积，又产生的随机数对在如图所示的正方形内，正方形面积为1，且满足yi≤f(xi)的有N1个点，即在函数f(x)的图象上及图象下方有N1个点，所以用几何概型的概率公式得：f(x)在x＝0到x＝1上与x轴围成的面积为×1＝，N1NN1N即?1f(x)dx＝.
?0
N1N
三、解答题
15．利用定积分的几何意义，说明下列等式．
[解析] (1)?12xdx表示由直线y＝2x，直线x＝0，x＝1，y＝0所围成的图形的面积，
?0
1
如图所示，阴影部分为直角三角形，所以S△＝×1×2＝1，故?12xdx＝1.
2?
0
(2)?1－11－xdx表示由曲线y＝1－x，直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的图形面积
2
2
?
π222
(而y＝1－x表示圆x＋y＝1在x轴上面的半圆)，如图所示阴影部分，所以S半圆＝，
2
16．利用定积分的性质求
?42x＋sin3x＋x2－ex－1?dx. ?x＋1
e＋1???
xx2xe－13
[解析] y＝4，y＝sinx均为[－1,1]上的奇函数，而对于f(x)＝x，
x＋1e＋1
人教版 高中数学 选修2-2同步练习1.5.3定积分的概念含答案
