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专题限时集训(六) 直线与圆、抛物线 椭圆、
双曲线
1．(2024·全国卷Ⅰ)已知 A 为抛物线 C：y2＝2px(p>0)上一点，点 A 到 C 的焦 点的距离为 12，到 y 轴的距离为 9，则 p＝( )
A．2 B．3 C．6 D．9
2C [法一：因为点 A 到 y 轴的距离为 9，所以可设点 A(9，yA)，所以 yA＝18p.
p
又点 到焦点
p
2
p
2
A
(
2
的距离为 12，所以 ＝12，所以
18p122
2＋＝，
)
，0
) (9 2)＋y
－
2 A
(9－
即 p2＋36p－252＝0，解得 p＝－42(舍去)或 p＝6.故选 C．
p
法 二：根据抛物线的定义及题意得，点 A 到 C 的准线 x＝－ 的距离为 12，因
2 p
为点 A 到 y 轴的距离为 9，所以 ＝12－9，解得 p＝6.故选 C．]
2
x2 y2
2．(2024·全国卷Ⅱ)双曲线 － ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 3，则其渐近线
a2 b2 方程为( )
A．y＝± 2x
2
D．y＝± x
2
B．y＝± 3x
3
C．y＝± x
2
c
A [法一：由题意知，e＝ ＝ 3，所以 c＝ 3a，所以 b＝ c2－a2＝ 2a，所以
a b b ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y＝± x＝± 2x，故选 A． a a
c
b b
2
法二：由 e＝ ＝ 1＋
a
(a )＝ 3，得 ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为 y
a
b ＝± x＝± 2x，故选 A．]
a
3．(2024·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y＝4x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为 的 2
2 直线与 C 交于 M，N 两点，则
→ → FM·FN＝( )
3
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A．5 B．6 C．7 D．8
与抛物线方程联立得Error! 消元整理得：y2－6y＋8＝0，
解得Error!或Error!不妨设 M 为(1,2)，N 为(4,4)． → →
又 F(1,0)，所以FM＝(0,2)，FN＝(3,4)，
→ →
从而可以求得FM·FN＝0×3＋2×4＝8，故选 D．]
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程
x2 －
y2
＝1 表示双曲线，且该双曲线两焦 2 3
2 3
D [根据题意，过点(－2,0)且斜率为 的直线方程为 y＝ (x＋2)，
m2＋n 3m2－n
点间的距离为 4，则 n 的取值范围是( )
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1， 3) D．(0， 3)
A [若双曲线的焦点在 x 轴上，则Error! 又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴Error! ∴－1 若双曲线的焦点在 y 轴上，则双曲线的标准方程为 y2 x2 ＝1，即Error! － n－3m2 －m2－n 即 n>3m2 且 n<－m2，此时 n 不存在．故选 A．] 5．(2024·全国卷Ⅱ)若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线 2x－y－ 3＝0 的距离为( ) A． 5 5 2 5 B． 5 3 5 C． 5 4 5 D． 5 B [因为圆与两坐标轴都相切，点(2,1)在该圆上，所以可设该圆的方程为(x－ a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，所以(2－a)2＋(1－a)2＝a2，即 a2－6a＋5＝0，解得 a＝1 或 a＝5，所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5)，所以圆心到直线 2x－y－3＝0 的距离为 |2 ×1－1－3| 2 5 |2 ×5－5－3| 2 5 2＋－1 2 ＝ 2 或 5 2＋ 2 ＝ －12 ，故选 B．] 5 x2 y2 6．(2013·全国卷Ⅰ)已知椭圆 E： ＋ ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F(3,0)，过点 a2 b2 Earlybird 晨鸟教育 F 的直线交 E 于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为( ) x2 y2 x2 y2 A． ＋ ＝1 45 36 x2 y2 B． ＋ ＝1 36 27 x2 y2 D． ＋ ＝1 18 9 C． ＋ ＝1 27 18 D [设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则Error! ①－②得 a2 . y1－y2 b2x1＋x2∴ ＝－ x1－x2 a2y1＋y2 x1＋x2 x1－x2 ＝－ y1－y2y1＋y2. b2 b2 ∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，∴kAB＝ . 而 kAB＝ 3－1 0－ －1 1 2 b2 1 a2 2 a2 ＝ ，∴ ＝ ，∴a2＝2b2， ∴c2＝a2－b2＝b2＝9，∴b＝c＝3，a＝3 2， x2 y2 18 9 ∴E 的方程为 ＋ ＝1.] x2 y2 7．(2024·全国卷Ⅱ)设 F 为双曲线 C： － ＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，O 为 a2 b2 坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x2＋y2＝a2 交于 P，Q 两点．若|PQ|＝|OF|，则 C 的离心率为( ) A． 2 B． 3 C．2 D． 5 x2 y2 A [ 设双曲线 C ： － ＝1(a>0 ，b>0) 的右焦点 F a2 b2 的坐标为(c,0) ，则 c ＝ a2＋b2. 如图所示，由圆的对称性及条件|PQ|＝|OF|可知，PQ
2024高考数学（理）6 直线与圆、抛物线 椭圆、双曲线 含解析 - 图文
