直角三角形的边角关系
∠A的正切tan A=
?A的对边a?
?A的邻边b?A的对边a?
斜边c?A的邻边b?斜边c
∠A的正弦sinA=
∠A的余弦cosA=
30 045 060 0
sina 1 22 22 21 cosa tana 3 23 33 21 23 3 3
cota 3 1 二次函数
一、二次函数的概念
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，
2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质：
a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 0? ?0，0? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值0．
2. y?ax2?c的性质： 上加下减。
a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 c? ?0，c? ?0，y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随a?0 向下 y轴 x的增大而增大；x?0时，y有最大值c．
3.
y?a?x?h?的性质：
左加右减。
2a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 0? ?h，0? ?h，X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值0．
4. y?a?x?h??k的性质：
2a的符号 a?0 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 ?h，k? ?h，k? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
k?； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，2k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：
⑴y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x???，其中h??，． k?2a?4a2a4a?222五、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点. 六、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
4a?2a?2abbb4ac?b2当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值．
2a2a2a4a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，．当时，y随x???2a4a2a2a??4ac?b2bb x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值
2a2a4a。
七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大． 总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下， 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴x??b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同2a右异” 总结：
3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，九、二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 十、二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次方程b2?4ac. ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?a2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；
2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
??0 抛物线与x轴有两个交点 ??0二次三项式的值可正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实根 ??0
抛物线与x轴只有一个交点 抛物线与x轴无交点 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根.
2024年 北师大版九年级数学下册知识点归纳总结(最新)
