“理解数学”是教好数学的前提──“中学数学核心概念、思想方法
“理解数学”是教好数学的前提──“中学数学核心概念、思想方法
“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”初中第五次课题会议，于20XX年11月8日～10日在湖北省荆州市召开。会议以“平方差公式”为题，由湖北襄樊市襄阳区城关一中朱小平老师、江苏南通市平潮高级中学陆志强老师各上了一堂现场研究课；以“用频率估计概率”为题，由荆州市实验中学李宜红老师、广州市番禺区星海中学罗朝红老师各上了一堂现场研究课。会前，全体成员按照课题组的要求作了精心准备，每一位一线教师都提供了教学设计，承担研究课的地区都组织了多次专门的教研活动，经历了“教学设计—试教—讨论—再设计”的过程。因此，提供给大会的是各地区的集体研究成果。研究课后，课题组成员对这几堂课进行了实事求是的点评，全体成员畅所欲言，坦诚地发表自己的意见和建议，对教学设计和课堂教学的成败得失进行了客观的分析。这几节课和点评，特别是对教学内容的解析和教学处理的点评，对与会成员和现场观摩的教师都具有较大的启发和借鉴作用。会后，课题组绝大部分成员进行了深入的反思。现将本次会议会上讨论和会后反思的成果整理出来，以供研究和讨论。
“核心概念”是本课题研究的重点内容，我们课题组教学设计框架中第一条就是“内容和内容解析”，是要在揭示概念内涵的基础上，说明概念的核心之所在，并要对概念在中学数学中的地位进行分析，其中隐含的思想方法要作出明确表述。在此基础上阐明教学重点。这也就是要求我们首先要理解数学。理解数学就是要了解数学概念的背景，掌握概念的逻辑意义，理解内容所反映的思想方法，把握概念的多元表示，挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神等价值观资源。
一、理解教学内容，弄清“是什么”
本次会议的“用频率估计概率”的研究课的内容是很有代表性的。“统计与概率”是本次课改的新增内容，也是老师们所不熟悉的内容，教师对教学内容的理解和把握相对“代数”“几何”要差一些，教师讲课的底气明显不足，甚至有一些科学性错误，参加研讨的一线教师也大部分不敢发言，惟恐自己说错。北京市
东城区教研员雷晓莉，吴晓燕老师在会议结束后，针对课堂上出现的问题也调查了一些初中数学教师，得出的结论是大家对“用频率来估计概率”的教学内容的认识理解有欠缺，需要“提高概率统计的专业素养”。
对于用频率估计概率，人教版教科书的相关描述为“一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生的概率P(A)=p”。概率的频率定义，反映了在大量重复试验的条件下，随机事件发生的频率的稳定值就是概率的性质。其中既有频率的随机性（每人每次试验都是变化的），也有频率的规律性（也就是稳定性）。对于这个定义的内涵，北师大张淑梅老师，人教社张唯一、王嵘老师，北京雷晓莉、吴晓燕老师在他们的反思文章都有阐述。在教学中，要特别注意避免以下理解：
（1）“频率的稳定值就是概率的估计值”。事实上，频率的稳定值就是概率，但是在很多时候，我们无法仅从试验中知道频率的稳定值具体是多少。
（2）“随着试验次数的增加，频率就越来越接近于概率”。事实上，定义中的频率稳定于概率并不是说频率的极限就是概率，而是频率依概率收敛于概率。即满足大数定律：设m是n重伯努利试验中事件A出现的次数，又A在每次试验中出现的概率为p()，则对任意的，有。也就是说，只要n充分大，那么频率估计概率的误差就可以如所希望的小。
（3）“用频率估计概率，一定要大量重复试验”。事实上，频率总是可以作为概率的估计的，试验次数的多少只是影响估计的精度。在有些实际问题中，对估计精度的要求不同，再加上试验条件的限制（比如破坏性的试验），试验次数是随实际问题而定的。
（4）“必然事件与概率为1等价，不可能事件与概率为0等价，随机事件的概率大于0而小于1”。这种说法仅是对于古典概型成立, 随机事件的概率是0≤P(A )≤1。必然事件的概率为1, 不可能事件的概率为0，但概率为1 的事件不一定是必然事件,概率为0的事件也不一定是不可能事件。例如向平面内投一质点, 该质点落在平面内某点A 的概率为0，落在平面内除点A 处以外的其他点的概率为1，但它们是随机事件。
在日常教学实践中，不能只关注于研究“怎么教”的问题，认为“教什么”的问
题教材已经给出答案，即教材上的内容就是教师所要“教”的内容。“要给学生一杯水，老师需要有一桶水”。为了提高对数学的理解水平，我们应注意开阔视野，要从教科书、教参、教辅等局限中跳出来，扩展到更高层次，在高观点指导下理解中学数学。例如，为了更好地理解概率统计内容，应阅读一些大学概率统计教材；为了提高自己的教学反思水平，应阅读一些数学教育、教学、心理方面的理论著作；等。
二、理解教学内容之间的，在概念体系中认识核心概念
在对教学内容进行设计时，我们的认识经常是“就事论事”，仅仅考虑到这一“点”知识。这种对于中学数学教学内容的认识有一定局限性，可能会“见木不见林”。对于数学教学，要把知识体系当成核心，围绕知识体系开展教学。核心概念的教学设计应该考虑概念的来源是什么？概念的内涵是什么？与相关概念的相互关系是什么？概念有什么作用？在新的概念引入后，原有的知识可以作出什么新的解释？等。
同样，在对教材进行分析时，也要树立“整体观”，不仅要分析所教学内容所在节的教材处理，更要看到这部分内容所在章的教材处理，甚至全套教材对于相关内容的处理，要深入理解教材对于这部分内容及其相关内容的编写意图，这对于我们深入理解教学内容也是有好处的。
例如，对于“用频率估计概率”，人教社王嵘老师和北京市雷晓莉、吴晓燕老师都分析了概率的几种定义：古典定义、统计定义和公理化定义，阐述了其各自意义和。从直观上讲，统计定义是非常容易接受的，这个定义也具有普遍意义。但是它的内涵是非常深刻的，涉及到大数定律，在初中阶段，我们不可能让学生接触其严格的形式和证明。因此，只能是通过试验获得，而没有明确的数学化的计算方法。与学生以往学习确定性数学的经验相比，概率的值无法确定，学生会有存在与不存在的困惑。在概率的古典定义中，“等可能”是其一个非常重要的条件，它是古典概率思想产生的前提。正是因为“等可能”，才会有“比率”。这里，“等可能”虽然无法确切证明，但借助实际背景，学生是能够感知的。例如，学生很容易理解掷一枚质地均匀的硬币，“呈正面”“呈反面”是等可能的；而掷一枚图钉，“钉帽着地”“顶针着地”不是等可能的。因此，教材将概率的频率定义放在了古典定义之后是符合学生的认知规律的。借助熟悉的古典概型，从频率角度探讨，让学生感受到用试验的方法是有效、科学、合理的，最后推广到
任意随机试验上，学生接受起来顺理成章。
对于平方差公式在初中数学中的地位和作用，人教社田载今老师、天津市的刘金英老师、大连王冰老师、北京马岳老师也都进行了分析。平方差公式是乘法公式的一种，而乘法公式是在进行整式乘法运算时，对一些特殊情况归纳出的简化运算的特殊形式。多项式的乘法法则是一个一般性的法则，乘法公式是整式乘法法则的下位，是一般法则形式下特殊形式的特征。因此。乘法公式能为符合公式特征的整式乘法的运算带来方便，也就以为后续学习“用公式法分解因式”“分式的运算与化简”“解一元二次方程”等带来方便。另外，“平方差公式”是学生系统学习的第一个公式，其研究方法也能为后续相关内容的学习带来借鉴作用。因此“平方差公式”的教学不仅要让学生明晰公式的结构特征，也要让学生理解乘法公式的地位和作用以及研究这类问题的方法。这样，在中看“平方差公式”，也就为它找到了其基本定位
对于平方差公式，教材是从一些特殊的多项式乘法问题引入的，让学生自己去归纳、揭示平方差公式的特征。本次课题会上，对于平方差公式中“面积问题”的使用在老师们中间引起了较大争论。授课教师有的从面积问题引入，有的也在这个问题上做了很多的文章。通过研讨，大家也基本取得了共识。看待这个问题还是要回到平方差公式的地位合作用上，乘法公式是整式乘法法则的特例，公式本身的核心在于其结构特征，“面积问题”仅仅是从“形”的角度来说明乘法公式的。因此，“面积问题”不应作为教学重点，平方差公式用面积来切入有难度，应该往后放，在得到公式后从几何的角度解释平方差公式：一个长方形的面积等于一个大正方形的减去一个小正方形。“文字描述”“符号概括”“图形直观”这三种表达数学概念的基本形式，也是对“平方差公式”的一个“真实”的刻画．
三、理解教学内容所反映的思想方法
数学思想方法也是我们课题研究的主要内容之一。一般地，数学思想是对数学对象的本质认识，是对具体的数学概念、命题、规律方法等的认识过程中提炼概括的基本观点和根本想法，对数学活动具有普遍的指导意义，是数学活动的指导思想。数学方法是指数学活动中所采用的途径、方式、手段、策略等。数学思想与数学方法有很强的性。通常，在强调数学活动的指导思想时称数学思想，在强调具体操作过程时称数学方法。
数学思想方法蕴含于数学知识之中，数学概念和原理的形成过程是进行数学思想方法教学的重要载体。数学思想方法重在“悟”，需要有一个循序渐进、逐步逼近思想本质的过程。数学思想方法的教学一定要注意“过程性”，“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和理解。
我们知道，概率是研究随机现象的学科，随机的、不确定的思想方法，贯穿于概率教学的始终。而在“概率的率估定义”的教学中，除了随机性，还有频率的稳定性。“亲自试验”获得的结果能够给学生以真实感和确切感；“亲自试验”的过程就是感受到这种随机性和稳定性的过程，因此，对于概率与统计的学习，学生应该有更多的主动权和试验权，在动手和动脑中感受概率与统计的思想和方法。
对于“用频率估计概率”的教学，使学生了解用频率估计概率的必要性和合理性也是这节课的教学目标之一。对于这节课，多数老师都会采用“掷硬币”的试验。“掷硬币”可以用古典定义求概率，所以概率值是明确的，而通过试验的方法计算得到的频率就可以和这个明确的概率值相比较，如此更容易让学生体会到“频率具有稳定性”这一事实，从而感受到“用频率估计概率”的合理性。但“掷硬币”或“掷骰子”的随机试验只能起到让学生直观感受用频率估计概率的合理性的作用，不能让学生理解其必要性。对于“用频率估计概率”的必要性，又该如何体现呢？荆州李宜红老师课堂引入的“姚明罚球命中率”的问题就是一个很好的载体。该问题既是学生感兴趣的问题，也能说明用频率估计概率的必要性，还能通过求命中率引出用频率估计概率的方法。姚明罚球的命中率是客观存在的，如果知道该值的大小对对方球员是否有必要犯规是有帮助的，所以我们要想办法知道它，概率的统计定义就给出了这样一种方法——频率估计概率。广州罗朝红老师在“掷硬币”后采用的“掷图钉”的例子，不能用古典定义求概率，也可以让学生感受概率的统计定义的必要性。
对于平方差公式的教学，其内容本身并不难，但这是学生第一次学习公式，学生不是做不到，而是想不到。要希望学生能想得到，就要特别注意要让学生经历归纳公式的过程，也就是要在教学中潜移默化的教给学生一些基本套路。这个基本套路其实和概念教学是类似的，也是要经过归纳公式（“举三反一”，概括其本质属性）——表示公式（文字、符号语言表示）——辨析公式（明确其结构特征）——应用公式（“举一反三”）等过程，其核心仍是归纳。归纳也是代数教学的
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