求动点的轨迹方程（例题，习题与答案）
在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难点和重点内容（求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形状类型）。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。 ? 求动点轨迹的常用方法
动点P的轨迹方程是指点P的坐标（x, y）满足的关系式。 1. 直接法
（1）依题意，列出动点满足的几何等量关系； （2）将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。 例题 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x?y?1，动点M到圆C的切线长等与MQ，
22求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线． 解：设动点M(x,y)，直线MN切圆C于N。
依题意：MQ?MN，即MQ?MN 而MN222
?MO?NO,所以
MQ?MO?1
(x-2)+y=x+y-1
22222222化简得：x=54。动点M 的轨迹是一条直线。 2. 定义法
分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点的轨迹满足圆（或椭圆、双曲线、抛物线）的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出轨迹方程。 例题：动圆M过定点P（－4，0），且与圆C：x?y?8x?0相切，求动圆圆心M的轨迹方
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程。
解：设M(x,y)，动圆Ｍ的半径为r。
若圆M与圆C相外切，则有 ∣MC∣=r＋4 若圆M与圆C相内切，则有 ∣MC∣=r-4 而∣MP∣=r, 所以
∣MC∣-∣MP∣=±4
动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4，所以动点M 的轨迹为双曲线。其中a=2, c=4。
动点的轨迹方程为：
x2y2??1 4123. 相关点法
若动点P(x，y)随已知曲线上的点Q(x0，y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。 例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C:(x?1)?y?4上运动,求线段AB的中点M的轨迹方程。
22解：设M(x,y), A(xA,yB), 依题意有：
4?xA3?yA, y= 2222则：xA=2x-4, yA=2y-3, 因为点A(xA,yB)在圆C:(x?1)?y?4上，所以
(2x?4)2?(2y?3)2?4
x=点M的轨迹方程为：
2(x?2)2?(y?32)?1
动点M的轨迹为以（2,32）为圆心，1为半径的圆。 4. 参数法
例题：已知定点A（-3,0），M、N分别为x轴、y轴上的动点（M、N不重合），且AN?MN,点P在直线MN上，NP?3。求动点P的轨迹C的方程。 2MP
解：设N(0,t), P(x,y) 直线AN的斜率kAM?
t， 33t因为AN?MN，所以直线MN的斜率kMN??
t2t23直线MN的方程为y-t=?x,令y=0 得x=,所以点M(,0)
33tt2NP?(x,y?t), MP?(x?,y)
3由NP?3, 得 2MP3t23x=(x?), y-t=y,则 232?x?t2??y??2t
所以动点P的轨迹方程为：y?4x
25. 交轨法
例题：如图，在矩形ABCD中，AB?8,BC?4,E,F,G,H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设
OP??OF,CQ??CF(??0)。求直线EP与GQ的交点M的轨迹?的方程。
y GC DQM o HFxP BAE
解：设M(x,y)，由已知得P(4?,0),Q(4,2?2?)，
求动点的轨迹方程(方法例题习题集答案解析)
