§3.2导数的计算
3.2.1 几个常用函数的导数
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)
1
课时目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数.2.能利用给出的基本
x
初等函数的导数公式求简单函数的导数．
1．函数y＝f(x)＝c的导数为____________，它表示函数y＝c图象上每一点处，切线的斜率为0.若y＝c表示路程关于时间的函数，则y′＝0可以解释为某物体的____________始终为0，即一直处于________状态．函数y＝f(x)＝x的导数为__________，它表示函数y＝x图象上每一点处切线的斜率为1.若y＝x表示路程关于时间的函数，则y′＝1可以解释为某物体做____________为1的______________运动．
2．常见基本初等函数的导数公式：
(1)若f(x)＝c(c为常数)，则f′(x)＝______； (2)若f(x)＝xα (α∈Q*)，则f′(x)＝________； (3)若f(x)＝sin x，则f′(x)＝________； (4)若f(x)＝cos x，则f′(x)＝________； (5)若f(x)＝ax，则f′(x)＝________ (a>0)； (6)若f(x)＝ex，则f′(x)＝________；
(7)若f(x)＝logax，则f′(x)＝________ (a>0，且a≠1)； (8)若f(x)＝ln x，则f′(x)＝________.
一、选择题
1．下列结论不正确的是( ) A．若y＝3，则y′＝0
11
B．若y＝，则y′＝－x
2x
1
C．若y＝－x，则y′＝－
2x
D．若y＝3x，则y′＝3
ππ12sin ?′＝cos ；③若y＝2，则y′|x＝3＝－.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x；②??3?3x27
其中正确的有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为( ) 11
A. B．－ C．－e D．e ee
4．正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是( )
π3π
0，?∪?，π? B．[0，π) A．??4??4?π3π?ππ3π， D．?0，?∪?，? C．??44??4??24?5．已知曲线y＝x3在点P处的切线斜率为k，则当k＝3时的P点坐标为( ) A．(－2，－8) B．(－1，－1)或(1,1)
11－，－? C．(2,8) D．?8??2
5
6．质点沿直线运动的路程s与时间t的关系是s＝t，则质点在t＝4时的速度为( )
11A． B．
55223102325153C．23 D．2
510题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 π3
7．曲线y＝cos x在点A?，?处的切线方程为__________________________．
?62?
8．已知f(x)＝xa，a∈Q，若f′(－1)＝－4，则a＝
________________________________________________________________________. 9．若函数y＝f(x)满足f(x－1)＝1－2x＋x2，则y′＝f′(x)＝________. 三、解答题
10．求下列函数的导数： 15
(1)y＝x12；(2)y＝4；(3)y＝x3；(4)y＝10x.
x
11．求过点(2,0)且与曲线y＝x3相切的直线方程．
能力提升
＋
12．设曲线y＝xn1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lg xn，则a1＋a2＋…＋a99的值为________．
13．求过曲线y＝ex上点P(1，e)且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程．
1．准确记忆八个公式是求函数导数的前提．
2．求函数的导数，要恰当选择公式，保证求导过程中变形的等价性．
3．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．
§3.2 导数的计算
3．2.1 几个常用函数的导数 3．2.2 基本初等函数的导数公式及
导数的运算法则(一)
知识梳理
1．y′＝0 瞬时速度 静止 y′＝1 瞬时速度 匀速直线
－
2．(1)0 (2)αxα1 (3)cos x (4)－sin x
11
(5)axln a (6)ex (7) (8) xln ax
作业设计
11131
1．B [y′＝??′＝(x－)′＝－x－＝－.] 222?x?2xx
2．B [直接利用导数公式．
因为(cos x)′＝－sin x，所以①错误；
π33
sin ＝，而??′＝0，所以②错误；
32?2??12?′＝(x－2)′＝－2x－3，则y′|x＝3＝－2， ?x?27所以③正确．]
3．D [设切点为(x0，y0)．由y′＝ex， 得y′|x＝x0＝ex0，
∴过切点的切线为y－ex0＝ex0(x－x0)， 即y＝ex0x＋(1－x0)ex0，又y＝kx是切线， ???k＝ex0，?x0＝1，∴? ∴?] ??1－x0?ex0＝0，?k＝e.??
4．A [∵y′＝cos x，而cos x∈[－1,1]． ∴直线l的斜率的范围是[－1,1]，
π3
0，?∪?π，π?.] ∴直线l倾斜角的范围是??4??4?
5．B [y′＝3x2，∵k＝3， ∴3x2＝3，∴x＝±1，
则P点坐标为(－1，－1)或(1,1)．]
14
6．B [s′＝t－.
55
111
当t＝4时，s′＝·＝.] 555441023π
7．x＋2y－3－＝0
6
解析 ∵y′＝(cos x)′＝－sin x，
ππ1
∴y′|x＝＝－sin ＝－，
662
π31
x－?， ∴在点A处的切线方程为y－＝－?22?6?
π
即x＋2y－3－＝0.
6
8．4
－
解析 ∵f′(x)＝axa1，
－
∴f′(－1)＝a(－1)a1＝－4，∴a＝4.
9．2x
解析 ∵f(x－1)＝1－2x＋x2＝(x－1)2， ∴f(x)＝x2，f′(x)＝2x.
10．解 (1)y′＝(x12)′＝12x11.
1?4－4－5
(2)y′＝?4′＝(x)′＝－4x＝－5. ?x?x
33235
(3)y′＝(x3)′＝(x)′＝x－＝. 5555
5x2
(4)y′＝(10x)′＝10xln 10.
11．解 点(2,0)不在曲线y＝x3上，可令切点坐标为(x0，x30)．由题意，所求直线方程的
x3x30－002
斜率k＝＝y′|x＝x0＝3x0，即＝3x20，解得x0＝0或x0＝3. x0－2x0－2
当x0＝0时，得切点坐标是(0,0)，斜率k＝0，则所求直线方程是y＝0；
当x0＝3时，得切点坐标是(3,27)，斜率k＝27，则所求直线方程是y－27＝27(x－3)， 即27x－y－54＝0.
综上，所求的直线方程为y＝0或27x－y－54＝0. 12．－2
解析 y′＝(n＋1)xn，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，
n
得x＝. n＋1
n
an＝lg xn＝lg＝lg n－lg(n＋1)，
n＋1
则a1＋a2＋…＋a99＝lg 1－lg 2＋lg 2－lg 3＋…＋lg 99－lg 100＝－lg 100＝－2. 13．解 ∵y′＝ex，∴曲线在点P(1，e)处的切线斜率是y′|x＝1＝e，
1
∴过点P且与切线垂直的直线的斜率k＝－，
e
1
∴所求直线方程为y－e＝－(x－1)，
e
即x＋ey－e2－1＝0.
人教a版数学【选修1-1】3.2.1-3.2.2(含答案)
