二次函数知识点
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax?bx?c（a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵ a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：y?ax的性质：
a 的
222a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质 绝对值越大，抛物线的开口
y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值0． 越小。
向下 y轴 2. y?ax?c的性质： 上加下减。
2a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 性质 3.
y轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． y?a?x?h?的性质：
左加右
2 减。
向下 y轴 a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 2向下 X=h 4. y?a?x?h??k的性质：
a的符号 开口方向 向上 顶点坐标 对称轴 X=h 性质 x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． 向下 X=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
k?； 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，2k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，2 2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴
y?ax2?bx?c沿y轴平移:向上（下）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）
⑵
y?ax2?bx?c沿轴平移：向左（右）平移m个单位，y?ax2?bx?c变成
y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）
四、二次函数y?a?x?h??k与y?ax?bx?c的比较
22从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即
22b?4ac?b2b4ac?b2?y?a?x?，其中h??． ，k???2a?4a2a4a?五、二次函数y?ax?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与
2222c?、y轴的交点?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关以及?0，于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与六、二次函数y?ax?bx?c的性质
2y轴的交点.
?b4ac?b2?b， 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为???． 2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值2a2a2a4ac?b2． 4a?b4ac?b2?bb， 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??时，y随x的?．当x??2a4a2a2a??4ac?b2bb增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值．
4a2a2a七、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）； 2. 顶点式：y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a
二次函数y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，
当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?2222b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧． 2ab?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧； 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧． 2a总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．
ab的符号的判定：对称轴x??右异” 总结： 3. 常数项c
b在y轴左边则ab?0，在y轴的右侧则ab?0，概括的说就是“左同2ay轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；
⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
⑴ 当c?0时，抛物线与
北师大版中考复习二次函数经典总结及典型题
