第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式
sinα22[考纲解读] 1.理解同角三角函数的基本关系式：sinα＋cosα＝1，＝tanα，并能cosα熟练应用同角三角函数关系进行化简求值．(重点) π2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，2理解“奇变偶不变，符号看象限”的含义，并能利用诱导公式进行化简．(重点、难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲内容在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础．预测2024年高考将以诱导公式为基础内容，结合同角三角函数关系式及三角恒等变换进行考查，试题以客观题为主，难度小，具有一定的技巧性.
对应学生用书P063
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：01 sinα＋cosα＝1.
πsinα??(2)商数关系：02 ＝tanα?α≠＋kπ，k∈Z?.
2cosα??2．三角函数的诱导公式
2
2
角 一 2kπ＋α (k∈Z) sinα 二 π＋α 01 －sinα 余弦 cosα 06 －cosα 正切 tanα 11 tanα 三 －α 02 －sinα 07 cosα 12 －tanα 口诀 函数名不变，符号看象限 四 π－α 03 sinα 08 －cosα 13 －tanα 函数名改变， 符号看象限 五 π－α 204 cosα 09 sinα — 10 －sinα — 六 π＋α 2正弦 05 cosα
1．概念辨析
(1)对任意α，β∈R，有sinα＋cosβ＝1.( ) sinα(2)若α∈R，则tanα＝恒成立．( )
cosα(3)(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα.( )
(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．小题热身 (1)若sinα＝1
答案 －
2解析 因为sinα＝
5π
，<α<π， 52
2
2
2
2
5π
，<α<π，则tanα＝________. 52
所以cosα＝－1－sinα＝－sinα1
所以tanα＝＝－.
cosα2
1－?
25?5?2
?＝－5， ?5?
cosα－1
(2)化简：＝________.
sinαtanα答案 －cosα
－sinα解析 原式＝＝－cosα.
sinαsinα·
cosα2
2
?52π?＝________.
(3)sin2490°＝________；cos?－?3??
11答案 － － 22
1
解析 sin2490°＝sin(7×360°－30°)＝－sin30°＝－.
2
?52π?＝cos?16π＋π＋π?＝cos?π＋π? cos?－??3?3?3???????
π1＝－cos＝－. 32
?π?3?π?(4)已知sin?＋α?＝，α∈?0，?，则sin(π＋α)＝________.
2??2?5?
4
答案 －
5解析 因为sin?
?π＋α?＝cosα＝3，α∈?0，π?，所以sinα＝1－cos2α＝4，所以
??2?55?2???
4
sin(π＋α)＝－sinα＝－.
5
对应学生用书P063
题型 一 同角三角函数关系式的应用
角度1 化简与求值
1．(2024·唐山模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点A(2sinα，3)，则cosα＝( )
1A. 2C.3 2
1B．－
2D．－
3 2
答案 A
解析 由任意角三角函数的定义得tanα＝
2
2
2
3sinα3
，即＝，所以3cosα＝2sinαcosα2sinα2sinα＝2(1－cosα)．整理得2cosα＋3cosα－2＝0，
1
解得cosα＝或cosα＝－2(舍去)．
2
角度2 sinα＋cosα、sinαcosα、sinα－cosα三者之间的关系2.(2024·四川石1
室中学模拟)已知α为第二象限角，且sinα＋cosα＝，则cosα－sinα＝( )
5
7A. 57C．± 5答案 B
1112
解析 因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)＝，即1＋2sinαcosα＝，所
52525
7
B．－
524D. 25
2424492
以2sinαcosα＝－.所以(cosα－sinα)＝1－2sinαcosα＝1＋＝.又因为α为第
2525257
二象限角．所以cosα<0，sinα>0.所以cosα－sinα<0.所以cosα－sinα＝－.
5
角度3 “齐次式”问题
sinα＋3cosα2
3．已知＝5，则cosα＋sinαcosα的值是( )
3cosα－sinα3A. 5C．－3 答案 A 解析 因为
sinα＋3cosαtanα＋32
＝5，所以＝5，解得tanα＝2，所以cosα＋
3cosα－sinα3－tanα3
B．－
5D．3
cosα＋sinαcosα1＋tanα1＋23
sinαcosα＝＝＝2＝. 222
sinα＋cosαtanα＋12＋15
1．应用同角三角函数关系式化简、求值的方法
sinα22
(1)利用sinα＋cosα＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实
cosα现角α的弦切互化．如举例说明1.
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2．sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα之间的关系问题 (1)方法：利用(sinα±cosα)＝1±2sinαcosα可以知一求二．
(2)关注点：根据角α终边的位置确定sinα＋cosα，sinα－cosα的符号．如举例说明2.
3．sinα，cosα的齐次式的解法 (1)常见的结构
①sinα，cosα的二次齐次式(如asinα＋bsinαcosα＋ccosα)的问题常采用“切”代换法求解；
②sinα，cosα的齐次分式?如2
2
2
2
2
?asinα＋bcosα?的问题常采用分式的基本性质进行变形．
?
?csinα＋dcosα?
2
(2)巧用“1”的变换：1＝sinα＋cosα.如举例说明3.
1．若α是第二象限角，则tanαA．－1 C．－tanα 答案 A
解析 因为α是第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，所以tanαsinα?cosα?sinαcosα·?＝－·＝－1. ?cosα?sinα?cosαsinα1
－1＝2
sinα2
1
－1化简的结果是( ) 2
sinαB．1 D．tanα
2
?π?2．若sin(π－α)＝－2sin?＋α?，则sinαcosα的值等于( ) ?2?
2
A．－ 522C.或－ 55答案 A
1
B．－
52D. 5
?π?解析 由sin(π－α)＝－2sin?＋α?，可得sinα＝－2cosα，则tanα＝－2，所以?2?
sinαcosαtanα2
sinαcosα＝2＝＝－. 22
sinα＋cosα1＋tanα5
22?π?2
3．已知α∈?0，?，sinαcosα＝，则sinα－cosα＝________.(提示(22－1)
4?9?＝9－42)
答案
1－22 3
22
解析 因为sinαcosα＝，
9所以(sinα－cosα)＝1－2sinαcosα 429－42?22－1?2
＝1－＝＝??.
99?3?
2
?π?又因为α∈?0，?，所以sinα－cosα<0，
4??
1－22
所以sinα－cosα＝.
3
2024届高考数学一轮复习第3章三角函数、解三角形第2讲同角三角函数的基本关系及诱导公式创新教学案(含解析
