对一类需要添加辅助线的中考题探究
有一类需要添加辅助线的屮考题，让许多学生朿手无策.为此，笔者对这类问题进行。 了系统深入的研究，发现其辅助线的产生是有规律可循的，而且可以找到作辅助线的一般方 法.
下面，笔者和大家一起分享三次遇到这类题型的探索过程，希望能给大家带来一些 启发和收获！ 一、第一次一筹莫展
例1 (1)如图1, D是等边AABC边BA上一动点
(点D与点A、B不重合)，连结.DC,以DC为边在.BC±方作 等边ADCE,连结AE.求证：ZB=ZEAC.
(2)如图2,当动点D运动至等边AABC边BA的延长线上时， 其他作法
与⑴相同，⑴中结论ZB=ZEAC还成立吗?请说明理Ftl.
(3)如图3,在等腰△ ABC屮，AB二AC,点D是AB上的任意 一点(点D
与点A、B不重合)，连结CD,以CD为边作等腰 △ECD,使顶角
ZDEOZBAC.连结AE,试探究ZB与EAC 的数量关系，并说明理由.
分析许多学生是这样寻找思路的：如
图3,首先猜测ZB=ZEAC,刚开始也想象 第⑴、(2)两个小题一样，证明△ BCD^AACE,
但显然这两个三角形是不全等的，故此路不通.通过分析，大家又发现EC=ED,
ZECA=
ZEDA,由这两个条件猜测△ ECO^AEDA,若能证得，贝9 EA=EO,
ZAEO=ZCEO.由
图3
若两个等腰三角形顶角相等则底角也相等，易证得ZB=ZEAC,但是证明厶ECO^AEDA
的条件只有一边一角，条件不足!
点评此题吋，笔者和学生通过证明。AE〃BC来寻找思路.这是一个常规题，是从等腰
■ 三角形顶角的外角平分线的角度分析寻找思路的.
如图4,要证明ZB=ZEAC,即要证明ZBCA=ZEAC,即要证明
AE〃BC,即要证明ZNAE=ZEAC.过点E作EM丄CA于点M,作EN 丄BA交BA
延反线于点N,即要证明EN=EM.对此，可在AECM和 △EDN中，用角角边证明这两个三角形全等來解决
图4
二、第二次揭示本质
例 2 在等腰直角ZXABC 中，ZBAC=90° , AB=AC,
直线MN过点A且.MN〃BC?以点B为一锐角顶点作RtABDEo ZBDE=90° ,且点D在直线MN上(不与点A重合)，如图5, DE与 AC交于点P,
易证：.BD二DP.
⑴在图6中，DE与泓延长线交于点P, BD二DP是否成立?如果成立, 请给予证明，如果不成立，请说明理由；
图5
(2)在图7中，DE与AC延长线交于点P, BD与DP是否相等?请直接 写出
你的结论，无需证明.
图7
分析 许多学生还是觉得此题很难，只是能猜测BD二DP成立，但无法给了证明.经 过分析发现这道题的图形的结构特征与前面的例1一模一样.
请看图5：若连结BP,此题即为已知AABC为等腰三角形，MN〃BC, ZBAC= ZBDE=90° ,求证
ABDP为等腰三角形.
而前面的那道例题相当于是已知两个等腰三角形，且顶角相等，求证两线段平行.笔 者寻思：这两道题只是题设与结论换了一下，图形的背景变了一点，但图形的结构特征并未 改变，为什么大家对这个图形没有一点似曾相识的感觉呢?原因就是我们对前血的那道例题 的分析认识不到位，未能认清图形的结构特征，挖掘图形的本质，从而导致再次遇到仍不相 识.
因此，我们需要继续观察分析，通过三个层次來认清此题图形的结构特征，挖掘出此 题图形的木质的.
1、回到同学们思维的起点，如图8,要证明△ ECO^AEDA,条件不足，说明这两个
三角形可能就是不全等的，那我们就构造一个AEDA全等的三角形.
若将AEDA绕点E逆吋针旋转，使得ED与EC重合，则AEDA落在
AECF 处，这样△ EDA^AECF,然后可得 EA二EF, ZCEF=ZDEA,从而
得到ZDEC=ZAEF,进而ZAEF=ZBAC.最后利用两个等腰三角形，若顶 图8 角相等则底角也相等，证得ZB=ZEAC.
B
C
2、把它与原来的方法比较，这种方法虽然也能解题，但没有原来的方法 简洁，准备弃之不用.但
继续观察分析发现，如图9,也可以把较大的AECA 绕点E顺时针旋转，使得EC与
ED重合，则AECA落在AEDF处，用同样方 法也能解题.
图9
原本已准备弃之不用的解题思路引起了笔者的高度重视，乘胜追击，通过 进一步分析发现，如图10,原来的解题方法也可以看作把△ECM。绕点E 顺时针旋转
使得EC与ED重合，则AECM落在AEDN处.这样，以上三 种方法都可以用旋转三角形构造全等形的数学思想解题.
3、进一步归纳总结发现，当两条有公共端点的线段相等，且由八字形能证得一组角相 等时，常
常会用到旋转线段所在三角形来构造全等三角形的数学思想，其辅助线也就自然而 现了.
有了以上的经验再来分析例2,原以为这次应该手到擒来，实际本题虽然与例1相似， 但让图形旋转起來后条件依旧不足?许多学生是这样分析寻找思路的：首先同学们对图5 熟悉一些，只要图5能找到思路，那图6、图7的问题就迎刃而解.在图5中，同学们也想 把BD、. DP放在ADBA与ADPA中，先观察ADBA与厶DPA,显然这两个三角形是不全
等的，通过分析他们发现ZDBA二ZEPA..由上面例1给他们的启发, 如图11,把ADPA绕点D顺吋针旋转使得DP与DB重合，则ADPA 落在AOBF处，从而出现辅助线：在BA上截取BF,使得BF二PA, 连结DF,此时需要证明
ADPA与ADBF全等，但只能找到一 边一角，条件不足，同学们的思路就卡
在这儿了.
其实，同样一条辅助线我们可以有多种不同的呈现方法，我们只需要让辅助线换一 种方法呈现，就柳暗花明又一村了!具体解题思路如下:
方法一 把ADPA绕点D顺时针旋转至△ DBF（大变小）. 分析如图 12,由ZBAC=90° , AB二AC, MN〃BC,易证得ZDAB=45° 利用这个结论，刚刚作的辅助线我们换种说法，过点D作DF丄DA.交BA于点吕
屯■舄矢 ____
c
F,则易证得 DF=DA, ZBDF=ZPDA,从而证得ZSDPA竺△DBF,则 BD=DP.
方法二 把ABDA绕点D逆时针旋转至APDF（小变大）.
图
分析 类似地，如图13,过点D作DF1DA交PA的延长线于点F. 则易证得DF=DA, ZBDA=ZPDF,从而证得厶DPF^ADBA, 贝I」BD=DP. 方法三 把绕点D逆时针旋转至
E
APDF（ 一大一小中间靠）.
分析 如图14,我们也可以过点D作DG丄AB交AB于点G, 过点D作
DF丄CA交CA延长线于点F,易证得△ BDG^APDF,则 BD=DP
通过上面的例题可归纳总结出：当有公共端点的两条线段相等，且由八字形能证得一组
图14
角相等时，以公共端点为旋转中心把三角形进行旋转，通过构造全等三角形来证明线段相等
或角相等.另外，辅助线应根据题目中的已知条件选择不同的呈现方法. 三、第三次返璞归真
通过进一步研究发现：只要有公共端点的两条线段相等时，常以公共端点为尿转屮 心，旋转三角形构造图形解题.
例 3 如图 15,四边形 ABCD 中，ZBAD=ZBCD=90°
:
AB=AD,若四边形.4BCD的面积是24cm,则AC长是 ______________ cm2
分析 已知AB=AC,结合前例所得知识经验，自然联想到旋转解决问题. 在的三角形旋转，如图1 6所示把AADC点A旋转至AABE； 或如图1
把AB或AC所
7所示把AABC绕点A旋转至AADE； 或如图1 8所示把AABE绕
点4旋转至AADF.
D
B
图17
C
例5如图1 9,在四边形ABCD中，AD=4, CD=3,
ZABC=ZACB=ZADC=45° ,则 BD 的长为 ____________
分析解答本题时，常规思路是通过作 高构造直角三角形，用勾股定理解题，但 ZDC=45°这个条件难以发挥作用.继续观 察，由ZABC=ZACB可知AC=AB,结合前例所得知识经验，自然联想到旋转解决问题.
把AB或AC所在的三角形旋转，如图20所示把.AABD绕点4旋转至△ ACE,或如图2 1所示把AADC绕点4旋转至AAEB. 通过对以上题目的归纳总结得出：当有公共端点的两个线段相等吋，常把线段所在三 角形绕着公共端点旋转起来，辅助线就口然而现了.因此，我们在解题中要及时加以归纳、 总结，这将会学得轻松白然，乐在其中.
图20
中考数学复习指导：对一类需要添加辅助线的中考题探究.doc
