高考数学复习 第5讲 函数的单调性与最值
1.单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2 当x1 定义 有 ,那 有 ,那么就说 么就说函数f(x) 函数f(x)在区间D上 在区间D上是增 是减函数 函数 当x1 图像 描述 自左向右看图像是 2.单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间D上是 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 叫作函数y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 (1)对于任意x∈I, (1)对于任意x∈I,都 都有f(x)≤M; 条件 (2)存在x0∈I,使得 (2)存在x0∈I,使得 有 ; 自左向右看图像是 f(x0)=M 结论 1 M为最大值 M为最小值 常用结论 1.函数的单调性 (1)若f(x),g(x)均为区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函数. (2)若k>0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k<0,则kf(x)与f(x)单调性相反. (3)函数y=f(x)(f(x)>0)在公共定义域内与y=-f(x),y=??(??)的单调性相反. (4)函数y=f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y=√??(??)的单调性相同. (5)复合函数单调性的确定方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”. 2.单调性定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],x1≠x2. (1)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0或(2)若有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0或3.函数最值的两条结论: (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值或最小值. 题组一 常识题 1.[教材改编] 函数f(x)=(2a-1)x-3是R上的减函数,则a的取值范围是 . 2.[教材改编] 函数f(x)=(x-2)+5(x∈[-3,3])的单调递增区间是 ;单调递减区间是 . 3.[教材改编] 函数f(x)=??+1(x∈[2,5])的最大值与最小值之和等于 . 4.[教材改编] 函数f(x)=|x-a|+1在[2,+∞)上是增函数,则实数a的取值范围是 . 题组二 常错题 3 2 1 ??(??1)-??(??2) >0,则??1-??2??(??1)-??(??2) <0,则??1-??2 f(x)在闭区间[a,b]上是增函数; f(x)在闭区间[a,b]上是减函数. 2 ◆索引:求单调区间忘记定义域导致出错;对于分段函数,一般不能整体单调,只能分段单调;利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解;混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念. 5.函数f(x)=ln(4+3x-x)的单调递减区间是 . (??-2)??,??≥2, 6.已知函数f(x)={1??是定义在R上的减函数,则实数a的取值范围 (2)-1,??<2为 . 7.函数y=f(x)是定义在[-2,2]上的减函数,且f(a+1) 8.(1)若函数f(x)=x+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是 . (2)若函数f(x)=x+2(a-1)x+2的单调递减区间为(-∞,4],则a的值为 . 探究点一 函数单调性的判断与证明 例1 判断函数f(x)=a+??+2(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论. x2 2 2 ??-3 [总结反思] (1)定义法证明函数单调性的一般步骤:①任取x1,x2∈D,且x1 f(x1)-f(x2);③变形(通常是因式分解和配方);④定号(即判断f(x1)-f(x2)的正负);⑤下结 论(即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性). 变式题 (1)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是 ( ) A.y=-x+1 2 B.y=|x-1| 3
高考数学复习题函数的单调性与最值
