2024-2024学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学期期末数学试题及答案

2024-2024学年湖南省长沙市湖南师范大学附中高二上学

期期末数学试题及答案

一、单选题

1．设i为虚数单位，已知复数z满足(1?i)z?2，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D

【解析】根据复数的基本运算解得z?1?i再判断即可. 【详解】 因为z?22(1?i)2(1?i)???1?i, 1?i(1?i)(1?i)2所以复数z在复平面内对应的点在第四象限, 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.

2．如图，在三棱锥O?ABC中，M,N分别是AB,OC的中点，设OA?a,OB?b,OC?c，用a,b,c表示NM，则NM等于（ ）

A．2(?a?b?c)

1B．2(a?b?c)

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1C．2(a?b?c) 【答案】B

1D．2(?a?b?c)

1【解析】利用空间向量的基本运算求解即可. 【详解】

NM?NA?AM?(OA?ON)?1AB 211?OA?OC?(OB?OA)

221111?OA?OB?OC?(a?b?c). 2222故选：B. 【点睛】

本题主要考查了空间向量的基本运算,需要根据三角形法则对向量进行转换,属于基础题型.

3．设a,b?R，则|a|?|b|?4成立的一个充分不必要条件是（ ） A．a?b4

B．a4

C．a2且b2 【答案】D

D．b??4

【解析】根据充分不必要条件的定义辨析即可. 【详解】

由b??4可得|a|?|b|?4,

但由|a|?|b|?4得不到b??4,如a?1,b?5. 故选：D. 【点睛】

本题主要考查了充分不必要条件的辨析,属于基础题型. 4．设在?ABC中,角A，B,C所对的边分别为a，b,c, 若

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bcosC?ccosB?asinA, 则?ABC的形状为 （ ）

B．直角三角形 C．钝角三

A．锐角三角形 角形 【答案】B

D．不确定

【解析】利用正弦定理可得sin?B?C??sin角和定理与诱导公式可得sinA?1,A?【详解】

因为bcosC?ccosB?asinA，

?22A，结合三角形内

，从而可得结果.

所以由正弦定理可得sinBcosC?sinCcosB?sin2A，

sin?B?C??sin2A?sinA?sin2A，

所以sinA?1,A?2，所以是直角三角形. 【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题. 弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下几种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径. 5．在(A．?45 【答案】C

【解析】根据二项式定理公式分析求解即可. 【详解】

(x?1)10展开式中的通项公式是：

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?x?1)10的展开式中，x项的系数为（

） D．90

B．?90 C．45

Tk?1?C(x)k1010?k?(?1)?Cxkk10(10?k)2?(?1)k,

10?k令2?1,则k8,

882?(?1)8?C10?C10?故x项的系数为：C1010?9?45, 2?1故选：C. 【点睛】

本题主要考查了求二项式中系数的问题,属于基础题型. 6．设等差数列?an?的前n项和为Sn，已知a1??2015,S6?2S3?18，则S2024?（ ） A．?8080 【答案】C

【解析】设等差数列?an?的公差为d,根据等差数列的基本量求法求解基本量,再求和即可. 【详解】

设等差数列?an?的公差为d,因为S6?2S3?18, 则a1?a2?a3?a4?a5?a6?2?a1?a2?a3??18, 即3d?3d?3d?18,则d?2.

因为a1??2015,则S2024?2024?(?2015)?故选：C. 【点睛】

本题主要考查了等差数列的基本量求解方法以及前n项和公式,属于基础题型.

7．袋中有大小完全相同的2个红球和3个黑球，不放回地摸出两球,设“笫一次摸得红球”为亊件A, “摸得的两球同色”为亊件B,则概率P?B|A?为（ ）

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B．?4040 C．8080 D．4040

2024?2024?2?8080, 2A．4 【答案】A

1B．2

1C．3

1D．4

3111C2C2C112PA??PAB??,????,【解析】试题分析：依题意，111C55C5C4101P?AB?101???，故选PB|A??则条件概率2P?A?45A.

【考点】条件概率.

8．某单位有4位同事各有一辆私家车，车牌尾数分别是0，1，2，5，为遵守所在城市元月15日至18日4天的限行规定（奇数日车牌尾数为奇数的车通行，偶数日车牌尾数为偶数的车通行），四人商议拼车出行，每天任选一辆符合规定的车，但甲的车（车牌尾数为2）最多只能用一天，则不同的用车方案种数是（ ） A．4 【答案】B

【解析】根据题意先安排安排奇数日出行再安排偶数日出行分步分类求解即可. 【详解】

15日至18日,有2天奇数日和2天偶数日,车牌尾数中有2个奇数和2个偶数.

第一步安排奇数日出行,每天都有2种选择,共有22?4种. 第二步安排偶数日出行,分两类：

第一类,先选1天安排甲的车,另外一天安排其他车,有2种；

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B．12 C．16 D．24

第二类,不安排甲的车,只有1种选择,共计1?2?3. 根据分步计数原理,不同的用车方案种数共有4?3?12, 故选：B. 【点睛】

本题主要考查了排列组合的运用,属于基础题型.

二、多选题

9．甲、乙两类水果的质量（单位：kg）分别服从正态分布N??1,?1?,N??2,?2?，其正态分布的密度曲线如图所示，则

22下列说法中正确的是（ ）

A．甲类水果的平均质量?1?0.4kg

B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值附近

C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量比甲类水果的质量更集中于平均值附近

【答案】ABC

【解析】根据正态分布的图像意义判定即可. 【详解】

由图像可知,甲类水果的平均质量?1?0.4kg,乙类水果的平均

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质量?2?0.8kg,?1??2,则A,B,C都正确；D不正确. 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查了正态分布图像的理解,属于基础题型.

x2y210．设椭圆C:??1的左、右焦点分别为F1,F2，点P为椭

43圆C上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．当点P不在x轴上时，?PF1F2的周长是6 B．当点P不在x轴上时，?PF1F2面积的最大值为C．存在点P，使PF1?PF2 D．PF1的取值范围是[1,3] 【答案】ABD

【解析】根据椭圆的几何性质逐个分析即可. 【详解】

由椭圆方程可知,a?2,b?3,从而c?a2?b2?1.

3

据椭圆定义,PF1?PF2?2a?4,又F1F2?2c?2, 所以?PF1F2的周长是6,A项正确. 设点P?x0,y0??y0?0?,因为F1F2?2, 则S?PF1F2?1F1F2?y0?y0. 2因为0?y0b?3,则?PF1F2面积的最大值为3,B项正确.

由椭圆性质可知,当点P为椭圆C短轴的一个端点时,?F1PF2为最大.

此时,PF1?PF2?a?2,又F1F2?2, 则?PF1F2为正三角形,?F1PF2?60?,

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所以不存在点P,使PF1?PF2,C项错误.

由图可知,当点P为椭圆C的右顶点时,PF1取最大值,此时

PF1?a?c?3；

当点P为椭圆C的左顶点时,PF1取最小值,此时PF1?a?c?1, 所以PF1?[1,3],D项正确, 故选：ABD. 【点睛】

本题主要考查了椭圆的几何意义与性质的运用,属于基础题型.

11．下列命题中为真命题的是（ ） A．?x?(0,??),ln(x?3)?sinx B．?x0?R,x02?x0??2 C．?x0?R,sin2x0x1?cos20? 333x?1??1?D．?x??0,3?,?2??log1x

????3【答案】AD

【解析】根据全称命题与特称命题以及函数的性质逐个判定即可. 【详解】

A项,当x?0时,则ln(x?3)?ln3?lne?1, 又?1B

sinx1,所以ln(x?3)?sinx恒成立,命题为真；

21?7x?项,因为x2?x?2?????2??47,所以方程x2?x??2无解,命4题为假；

C项,因为对?x?R,sin23?cos23?1恒成立,则命题错误；

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xxD

1?项,结合指数函数y?????2?x与对数函数

y?log1x3?1?0,?上的在??3?图像,命题为真, 故选：AD. 【点睛】

本题主要考查了函数性质与全称命题和特称命题的真假判定,属于基础题型.

12．若直线l与曲线C满足下列两个条件：①直线l在点

P?x0,y0?处与曲线C相切；②曲线C在点P附近位于直线l的

两侧，则称直线l在点P处“切过”曲线C.则下列结论正确的是（ ）

A．直线l:y?0在点P(0,0)处“切过”曲线C:y?x3 B．直线l:y?x?1在点P(1,0)处“切过”曲线C:y?lnx C．直线l:y?x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y?sinx D．直线l:y?x在点P(0,0)处“切过”曲线C:y?tanx 【答案】ACD

【解析】根据“切过”的定义以及导数的几何意义逐个选项判定即可. 【详解】

A项,因为y??3x2,当x?0时,y??0,

所以l:y?0是曲线C:y?x3在点P(0,0)处的切线. 当x?0时,y?0；当x?0时,y?0,

所以曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确； B项,y??x,当x?1时,y??1,在P(1,0)处的切线为l:y?x?1.

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1令h(x)?x?1?lnx,则h?(x)?1?x?所以h(x)min?h(1)?0.故x?11x?1(x?0), x当x?1时,h?(x)?0；当0?x?1时,h?(x)?0,

lnx,

即当x?0时,曲线C全部位于直线l的下侧（除切点外）,结论错误；

C项,y??cosx,当x?0时,y??1,在P(0,0)处的切线为l:y?x, 由正弦函数图像可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确； D项,y??1x?0时,y??1,在P(0,0)处的切线为l:y?x, ,当2cosx由正切函数图像可知,曲线C在点P附近位于直线l的两侧,结论正确. 故选：ACD. 【点睛】

本题主要考查了导数的几何意义运用,属于中等题型.

三、填空题

13．设曲线y?3x?ln(x?1) 在点(0,0)处的切线方程_________________. 【答案】2x?y?0

【解析】求出函数的导函数，得到函数在x?0处的导数，即为切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】

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由题意，函数y?3x?ln(x?1)的导数为y??3?x?1，

可得曲线y?3x?ln(x?1)在点(0,0)处的切线斜率为3?1?2，即切线的斜率为2，

则曲线在点(0,0)处的切线方程为y?0?2(x?0)，即为y?2x，即2x?y?0．

故答案为：2x?y?0． 【点睛】

本题主要考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，其中解答中明确曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

14．已知随机变量?的分布列为

? P 11 1?p 22 123 p 2

若E(?)?2，则p?_____________

1【答案】2

【解析】根据数学期望的求法列式求解即可. 【详解】

1?p1p3?2??3???p, 222231p??p?2,则2. 令21故答案为：2 E(?)?1?【点睛】

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本题主要考查了数学期望的求法,属于基础题型.

x2y215．设F1,F2分别是双曲线C:a2?b2?1(a?0,b?0)的左、右焦点，

A是双曲线的左顶点，点P在过点A且斜率为

33的直线7上，若?PF1F2为等腰三角形，且?F1F2P?120?，则双曲线C的离心率为___________. 【答案】3

【解析】过点P作PB?x轴,垂足为B再根据三角形中的边角关系与双曲线的定义求解即可. 【详解】

过点P作PB?x轴,垂足为B.

由已知,PF2?F1F2?2c,?BF2P?60?, 则BF2?c,BP?3c,所以tan?PAB?由3c. a?2c3c33?,解得c?3a,所以双曲线的离心率e?3. a?2c7故答案为：3 【点睛】

本题主要考查了根据双曲线的几何意义与三角形中的关系求解离心率的方法,需要找到对应的基本量的关系列式求解.属于中等题型.

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16．已知?ABC是边长为23的正三角形，D为BC的中点，

沿AD将?ABC折成一个大小为60?的二面角B?AD?C，设O为四面体ABCD的外接球球心.则

（1）球心O到平面BCD的距离为_____________ （2）球O的体积为_____________.

3【答案】2

1313?6

【解析】(1)做辅助线构造三角形,根据球心到球面距离的点相等以及三角形中的关系求解即可.

(2)根据立体几何中的边角关系求解球的半径,再求体积即可. 【详解】

（1）如图,在四面体ABCD中,AD?DC,AD?DB,则?BDC?60?. 因为DB?DC?3,则BC?3. 设?BCD的外心为E,则OE?平面BCD. 因为AD?平面BCD,则OE//AD. 取AD的中点F,因为OA?OD,则OF?AD, 所以OE?DF?2AD?2.

13

（2）在正?BCD中,由正弦定理,得DE?13??1. ?2sin60第 13 页 共 25 页

在Rt?OED中,OD?1?3913?42, .

1313?64?13?1313?V?所以球3????2???6??故答案为：(1). 【点睛】

3 2 (2). 本题主要考查了立体几何中的外接球问题,需要做辅助线构造三角形,再根据平面几何中的边角关系求解.所以中等题型.

四、解答题

17．?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，?ABC的面积为S，若4S?c2?a2?b2. （1）求角C的大小； （2）若b?2a，?ABC的面积为

2sinAsinB，求sinA及c的值. 2【答案】（1）C?3?4（2）sinA?10；c?1 10【解析】(1)根据面积公式与余弦定理求解即可. (2)先根据余弦定理与b?求得sinA?【详解】

（1）因为S?2absinC,

14?所以2absinC?c2?a2?b2,

c2?a2?b2即sinC?2ab??cosC,所以tanC??1,

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2a求得c?5a,继而利用正弦定理

10,再利用面积公式与正弦定理化简求解即可. 101又因为0??C?180?,所以C?3?4.

（2）因为c2?a2?b2?2abcosC?3a2?2a2?5a2, 所以c?5a,即sinC?5sinA

所以sinA?因为S?ABC?110sinC?. 10512absinC,且S?ABC?sinAsinB, 22ab12absinC?sinAsinB,所以即sinAsinBsinC?2 22c?由正弦定理得???sinC?2,解得c?1. ?sinC?2【点睛】

本题主要考查了利用正余弦定理与面积公式求解三角形的问题.包括边角转换的运用方法等.属于中等题型. 18．已知等差数列?an?满足a1?3，当n2时an?1?an?4n. （1）求数列?an?的通项公式； （2）若数列?bn?满足b1?2b2?的前n项和Sn.

【答案】（1）an?2n?1（2）Sn?14?4n?7 2n?1?2n?1bn?nan(n?N*)，求数列?bn?(1)代入n?2可求得a2?5,进而求得公差与通项公式【解析】即可.

(2)由(1)an?2n?1,再利用前n项和与通项的关系求解?bn?的通项公式,再利用错位相减求解Sn即可. 【详解】

（1）因为an?1?an?4n,则a1?a2?8, 又a1?3,则a2?5.

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所以等差数列?an?的公差d?a2?a1?2, 又因为a1?3,所以an?2n?1. （2）因为）b1?2b2?则b1?2b2??2n?1bn?nan,

?2nbn?1?(n?1)an?1,

两式相减,得2nbn?1?(n?1)an?1?nan

?(n?1)(2n?3)?n(2n?1)?4n?3,

所以当n2时,bn?4n?1. 2n?1经检验,b1?3也符合该式,所以?bn?的通项公式是bn?1因为Sn?3?7??2?1??(4n?1)????2?2n?14n?1. 2n?1,

n?1111?则Sn?3??7?????22?2??1??(4n?5)????2??1??(4n?1)????2?n?1n

?1?1?21两式相减,得2Sn?3?4?2????2?????1?????2?n??1???(4n?1)???

?2???n??1?n?1?4n?7?1??3?4?1?????(4n?1)????7?n222????????4n?7所以Sn?14?2n?1.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的通项公式求解与数列的前n项和与通项的关系.同时也考查了错位相减的方法,属于中等题型.

19．如图，直三棱柱ABC?DEF的底面是边长为2的正三角形，侧棱AD?1，P是线段CF的延长线上一点，平面PAB分别与DF,EF相交于M,N.

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（1）求证：MN//平面CDE；

（2）求当PF为何值时，平面PAB?平面CDE. 【答案】（1）证明见解析（2）PF?2

【解析】(1)根据线面平行的性质证明DE//MN即可. (2)分别取线段AB,DE的中点G,H,再根据题意分析PG?平面

CDE时的点P,根据三角形的全等与相似的关系求得PF的

长度即可.或者建立空间直角坐标系求解. 【详解】

（1）因为AB//DE,AB在平面DEF外,则AB//平面DEF. 因为平面PAB?平面DEF?MN, 则AB//MN,从而DE//MN.

因为MN在平面CDE外,所以MN//平面CDE.

（2）解法一：分别取线段AB,DE的中点G,H,则GH//CP, 所以P,C,G,H四点共面.

因为Rt?PCA?Rt?PCB,则PA?PB,所以PG?AB. 因为AB//DE,则PG?DE.

若PG?CH,则PG?平面CDE,从而平面PAB?平面CDE. 此时,?CPG??HCG,则

PCCG?CGGH.

3, 因为?ABC是边长为2的正三角形,则CG?2sin60??第 17 页 共 25 页

CG2又GH?1,则PC?GH?3,

从而PF?PC?FC?2,

所以当PF?2时,平面PAB?平面CDE.

（2）解法二：如图,分别取AB,DE的中点O,H,以O为原点, 直线OB,OC,OH分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系 由已知,AB?2,OH?1,OC?从而CH?(0,?3,则点B(1,0,0),C(0,3,0),H(0,0,1),

3,1),HE?OB?(1,0,0)

设平面CDE的法向量为m??x1,y1,z1?,

??m?CH?0?y1?(?3)?z1?0?, 由m?HE?0得?x?1?0???1取y1?1,则m?(0,1,设CP?t,则点P(0,3)

3,t),从而OP?(0,3,t)

设平面PAB的法向量n??x2,y2,z2?,

??n?OP?0?3y2?tz2?0 由?n?OB?0,得?x?1?0???2取y2?t,则n?(0,t,?3).

因为平面PAB?平面CDE,则m?n?0, 得,t?3,从而PF?PC?FC?2

所以当PF?2时,平面PAB?平面CDE.

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【点睛】

本题主要考查了线面平行的性质与判定,同时也考查了判断面面垂直的条件等.需要根据题意根据线面的关系求解各边的长度分析垂直关系等.属于难题.

20．在一场抛掷骰子的游戏中，游戏者最多有三次机会抛掷一颗骰子，游戏规则如下：抛掷1枚骰子，第1次抛掷骰子向上的点数为奇数则记为成功，第2次抛掷骰子向上的点数为3的倍数则记为成功，第3次抛掷骰子向上的点数为6则记为成功.游戏者在前两次抛掷中至少成功一次才可以进行第三次抛掷，其中抛掷骰子不成功得0分，第1次成功得3分，第2次成功得3分，第3次成功得4分. （1）求游戏者有机会第3次抛掷骰子的概率； （2）设游戏者在一场抛掷骰子游戏中所得的分数为?，求随机变量?的分布列和数学期望.

2【答案】（1）3（2）详见解析

(1)分别求得第一、【解析】二、三次抛掷骰子成功的概率,再根据概率的加法公式分情况求解即可.

(2)根据题意可知?的可能取值为0,3,6,7,10.再分情况求解每个可能值的分布列,再求数学期望即可.

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【详解】

（1）据题意,游戏者第一、二、三次抛掷骰子成功的概率分别为：

111p1?,p2?,p3? 236设游戏者有机会抛挪第3次骰子为事件A, 则P(A)?p1?1?p2???1?p1?p2?p1p2?2 32所以游戏者有机会抛掷第3次骰子的概率为3. （2）据题意,?的可能取值为0,3,6,7,10.

P(??0)??1?p1??1?p2??1； 3555??； 183612P(??3)?p1?1?p2??1?p3???1?p1?p2?1?p3??P(??6)?p1p2?1?p3??5； 36P(??7)?p1?1?p2?p3??1?p1?p2p3?P(??10)?p1p2p3?1. 36211??； 363612?的分布列为 ? P 0 1 33 5 126 5 367 1 1210 1 36

1551153?的数学期望为E??0??3??6??7??10??.

31236123618【点睛】

本题主要考查了分情况讨论求解概率的问题以及离散型随机变量的分布列与数学期望的问题,需要根据题意分析所有可能的情况与概率,属于中等题型.

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21．如图，拋物线的顶点O在坐标原点，焦点在y轴负半轴上，过点M(0,?2)作直线l与拋物线相交于A,B两点，且满足OA?OB?(?4,?12).

（1）求直线l和拋物线的方程；

（2）当拋物线上一动点P从点A运动到点B时，求?ABP面积的最大值.

【答案】（1）直线l的方程为y?2x?2，抛物线方程为x2??2y（2）82 【解析】(1)设直线l的方程为y?kx?2,抛物线方程为

x2??2py(p?0),再联立方程利用韦达定理表达OA?OB,继而

求得直线l的斜率与方程.

(2)根据当抛物线过点P的切线与l平行时,?APB面积最大,

12??Pt,?t?,再表达出利用导数的几何意义求解.或者设点?2???APB面积根据参数的范围分析面积表达式再求最值即可.

【详解】

（1）据题意可设直线l的方程为y?kx?2, 抛物线方程为x2??2py(p?0)

?y?kx?2由?x2??2py, ?第 21 页 共 25 页

得,x2?2pkx?4p?0. 设点A?x1,y1?,B?x2,y2?,

则x1?x2??2pk,y1?y2?k?x1?x2??4??2pk所以OA?OB??x1?x2,y1?y2????2pk,?2pk因为OA?OB?(?4,?12),

??2pk??4,?p?1所以??2pk2?4??12,解得?k?2

??2?4.

2?4?

故直线l的方程为y?2x?2,抛物线方程为x2??2y. （2）解法一：据题意,当抛物线过点P的切线与l平行时,?APB面积最大 设点P?x0,y0?,因为y???x,

由?x0?2?x0??2,y0??2x02??2,所以P(?2,?2). 此时,点P到直线l的距离d??y?2x?2由?x2??2y,得,x2?4x?4?0. ?|2?(?2)?(?2)?2|22?(?1)2?445?5. 51所以AB?1?k2?x1?x2?2?4x1?x2 ?1?22(?4)2?4(?4)?410. 故?APB面积的最大值为

1145?AB?d??410??82. 225?y?2x?2解法二：由?x2??2y,得,x2?4x?4?0.

?所以AB?1?k2?x1?x2?2?4x1?x2 ?1?22(?4)2?4(?4)?410. 12??Pt,?t?(?2?22?t??2?22),点P到直线l的距离为d, 设点?2??第 22 页 共 25 页

则d?12t?t2?2222?(?1)2?(t?2)2?825(?2?22?t??2?22),

当t??2时,dmax?455,此时点P(?2,?2).

1145?AB?d??410??82. 225故?APB面积的最大值为【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线相交、相切的位置关系,包括联立直线与抛物线方程,利用韦达定理表示向量数量积进而求得参数的方法.同时也考查了抛物线中的面积问题.属于难题. 22．已知函数实常数.

（1）当a?1时，求函数f(x)的单调区间；

（2）当a??1时，求函数f(x)在区间[?1,2]上的最大值. 【答案】（1）单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(??,0)和(1,??)（2）f(x)max?2?e2?1??(2?a)e,?1?a?2?e?1?? 22?e?1??a?2,a?e2?1?ex2?ax?1e为自然对数的底，a为f(x)?，其中xe【解析】(1)求导后分析导数f?(x)?0求单调增区间,再求单调递减区间即可.

(2)求导后根据极值点的大小关系,分a的情况讨论函数f(x)的单调性与最值即可. 【详解】

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（1）当a?1时,

?x(x?1)x2?x?1?f(x)?f(x)?,. exex由f?(x)?0,得,x(x?1)?0,即0?x?1.

所以f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(??,0)和

(1,??).

（2）

f?(x)??(x?1)[x?(1?a)]. ex因为a??1,则1?a?2.

1.当1?1?a?2,即?1?a?0时,由f?(x)?0,得1?x?1?a, 则f(x)在(1,1?a)上单调递增,在[?1,1)和(1?a,2]上单调递减, 所以f(x)max?max{f(?1),f(1?a)}. 因为

(1?a)2?a(1?a)?1f(?1)?(2?a)e,f(1?a)??(2?a)ea?1 1?ae则f(?1)?f(1?a),所以f(x)max?(2?a)e.

?(x?1)2f?(x)?0, xe2.当1?a?1,即a?0时,

所以f(x)在[?1,2]上单调递减, 所以f(x)max?f(?1)?(2?a)e.

3.当?1?1?a?1,即0?a?2时,由f?(x)?0,得1?a?x?1, 则f(x)在(1?a,1)上单调递增,在[?1,1?a)和(1,2]上单调递减, 所以f(x)max?max{f(?1),f(1)}, 因为

a?1?e2??2?e2?1?2?a,则 f(1)?f(?1)??(a?2)e?ee2?e2?1?e?12当0?a?当

时,f(?1)?f(1),f(x)max?f(?1)?(2?a)e；

2?e2?1?e?12a?2时,f(1)f(?1),f(x)max?f(1)?2?a. e4.当1?a?1,即a2时,f(x)在[?1,1)上单调递增,(1,2]上单调递

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减, 则

f(x)max?f(1)?2?a. e?2?e2?1??(2?a)e,?1?a?2?e?1f(x)max?? 22?e?1??a?2,a?e2?1?e综上分析,【点睛】

本题主要考查了利用导数求函数单调性的问题,同时也考查了含参的导数单调性与最值的问题,需要根据极值点的大小进行分情况讨论,同时需要判断可能存在的最值,再分参数的不同范围确定最值.属于难题.

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