初中数学竞赛辅导资料
二元一次方程组解的讨论
甲内容提要
1． 二元一次方程组
a1 x bc1 y1
的解的情况有以下三种：
a2 x
b2 y c2
① 当
a1
b1 c1 时，方程组有无数多解。 （∵两个方程等效） a2
b2 c2 ② 当
a1
b1 c1 时，方程组无解。 （∵两个方程是矛盾的） a2
b2
c2
③ 当
a
1
b1 （即 a1b2－ a2b1≠ 0）时，方程组有唯一的解：
a2
b2
x
c1b2
c2 b1
a1b2 a2b1
y
c2 a1 c（这个解可用加减消元法求得）
1a2
a1 b2 a2b1
2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。
3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数）
含待定系数的不等式或加以讨论。 （见例 2、 3）
乙例题 例 1.
选择一组 a,c 值使方程组5x y 7
ax 2 y
c
① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解
解：
①当 5∶ a=1∶2=7 ∶ c 时，方程组有无数多解
解比例得 a=10, c=14。
② 当 5∶ a＝1∶ 2≠ 7∶c 时，方程组无解。
解得 a=10,
c≠ 14。
③当
5∶ a≠ 1∶ 2 时，方程组有唯一的解，
即当 a≠ 10 时， c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。
x y
a
例 2.
a 取什么值时，方程组
的解是正数？
5x 3y
31
解：把 a 作为已知数，解这个方程组
，再解
31 3a
31 3a
得x
0
2
0 2
5a31∵x ∴
y
0
5a 31
y
2
2
0
31
a
解不等式组得
3
解集是 6
1 a
10
1
a
31
5
3
5
答：当 a 的取值为1 1
6a 10
时，原方程组的解是正数。
5
3
例 3.
m 取何整数值时，方程组
2xmy 4
的解 x 和 y 都是整数？
x 4 y 1
x 1
8
解：把 m 作为已知数，解方程组得
m
8
2
y
m 8
∵ x 是整数，∴ m－ 8 取 8 的约数± 1，± 2，± 4，± 8。 ∵ y 是整数，∴ m－ 8 取 2 的约数± 1，± 2。取它们的公共部分， m－ 8＝± 1，± 2。 解得 m=9， 7， 10， 6。
经检验 m=9，7， 10，6 时，方程组的解都是整数。 例 4（古代问题）用 100 枚铜板买桃，李，榄橄共 100 粒，己知桃，李每粒分别是铜板，而榄橄 7 粒 1 枚铜板。问桃，李，榄橄各买几粒？
解：设桃，李，榄橄分别买
x, y, z 粒 ,依题意得
x y z 3x1
100 (1)
4y
z 100(2)
7
由（ 1）得 x= 100 － y－ z (3)
把（ 3）代入（ 2），整理得
y=－ 200+3z －z
7
设
z
k (k 为整数 )
得 z=7k, y= － 200+20k, x=300 － 27k
7
k
100
300 27k 0
9
∵x,y,z 都是正整数∴
200 20k 0 解得 k. 10 （ k 是整数）
7k
0
k.
0
3，4 枚
∴10＜ k< 11 ,
1
∵ k 是整数， ∴ k=11
9
即 x=3 （桃） , y=20 （李） , z=77（榄橄）
(答略 )
丙练习 11
1． 不解方程组，判定下列方程组解的情况：
①
x 2 y 3 3x 6 y 9
②
2x y 3
③
3x 3x
5y 1
4x 2 y 3
x 3 y a 2 a 1
5 y 1
2． a 取什么值时方程组
9x
6y
9a 2
2a 2 的解是正数？
3． a 取哪些正整数值，方程组
x 2 y 5 a 3x 4 y 2a
的解 x 和 y 都是正整数？
x ky k
4． 要使方程组
的解都是整数，
k 应取哪些整数值？
x 2y 1
5． （古代问题）今有鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡，
鸡翁，鸡母，鸡雏都买，可各买多少？
初中数学竞赛辅导资料（
12）
用交集解题
甲内容提要
1． 某种对象的全体组成一个
集合 。组成集合的各个对象叫这个集合的
元素。 例如 6 的正约
数集合记作｛ 6 的正约数｝＝｛ 1， 2， 3，6｝，它有 4 个元素 1， 2， 3，6；除以 3 余 1 的正整数集合是个无限集，记作｛除以 个元素有无数多个。
2． 由两个集合的所有公共元素组成的一个集合，叫做这两个集合的
例如 6 的正约数集合
交集
3 余 1 的正整数｝＝｛ 1，4， 7， 10??｝，它的
A ＝｛ 1， 2， 3， 6｝，10 的正约数集合 B＝｛ 1， 2， 5， 10｝， 6 与
10 的公约数集合 C＝｛ 1， 2｝，集合 C 是集合 A 和集合 B 的交集。
3． 几个集合的交集可用图形形象地表示，
右图中左边的椭圆表示正数集合，
右边的椭圆表示整数集合，中间两个椭圆 的公共部分，是它们的交集――正整数集。
不等式组的解集是不等式组中各个不等式解集的交集。
正 数 集
正 整 数 集
整 数 集
例如不等式组
2x 6 (1)
x 2 (2)
解的集合就是
不等式（ 1）的解集 x>3 和不等式（ 2）的解集 x＞2 的交集， x>3 . 如数轴所示：
0
2
3
4．一类问题，它的答案要同时符合几个条件，一般可用交集来解答。把符合每个条件的所有的 解（即解的集合）分别求出来，它们的公共部分（即交集）就是所求的答案。
有时可以先求出其中的一个（一般是元素最多）的解集，再按其他条件逐一筛选、剔除，求得 答案。（如例 2） 乙例题
例 1.一个自然数除以 3 余 2，除以 5 余 3，除以 7 余 2，求这个自然数的最小值。 解：除以 3 余 2 的自然数集合
A ＝｛ 2，5， 8，11， 14， 17， 20， 23， 26，??｝
除以 5 余 3 的自然数集 B＝｛ 3， 8， 13， 18， 23 ， 28，??｝
除以 7 余 2 自然数集合 C＝｛ 2， 9， 16， 23， 30，??｝
集合 A 、 B、 C 的公共元素的最小值 例2. 有两个二位的质数，它们的差等于 解：
23 就是所求的自然数。
6，并且平方数的个位数字相同，求这两个数。
1， 3， 7， 9，即符合条件的质数它们的个位数
二位的质数共 21 个，它们的个位数字只有 的集合是｛ 1， 3，7， 9｝；
其中差等于 6 的有： 1 和 7； 3 和 9； 13 和 7，三组； 平方数的个位数字相同的只有
同时符合三个条件的个位数字是
3和7；1和 9二组。
3和7这一组
故所求质数是： 23， 17 ； 43 ， 37； 53， 47； 73， 67 共四组。
例3. 数学兴趣小组中订阅 A 种刊物的有 28 人，订阅 B 种刊物的有 21 人，其中 6 人两种都
订，只有一人两种都没有订，问只订A 种、只订 B 种的各几人？数学兴趣小组共有几 人？
解：如图左、右两椭圆分别表示订阅 ∴只订 A 种刊物的人数是
A 种、 B 种刊物的人数集合，则两圆重叠部分就是它
们的交集（ A 、B 两种都订的人数集合） 。
28－ 6＝ 22 人；
只订 B 刊物的人数是 21－ 6＝ 15 人； 小组总人数是 22＋ 15＋ 6＋ 1＝44 人。
A＝ 28
B＝21
只 A 22
A B
6
只 B 15
设 N，N（A），N（B），N（AB ）， N
分别表示总人数，订 A 种、 B 种、 AB 两种、都不订的人数，则得 ［公式一］ N＝ N + N（A）+N （B）－ N（AB）。 例4. 在 40 名同学中调查，会玩乒乓球的有
24 人，篮球有 18 人，排球有
③只会打排球？
10 人，同时会玩
乒乓球和篮球的有 6 人，同时会玩乒乓球和排球的有
问：有多少人①只会打乒乓球②同时会打篮球和排球 解：仿公式一 ,得［公式二］ ：
4 人，三种球都会的只有
1 人，
N＝ N + N（ A） +N（ B） +N(C) － N（ AB ）－ N（ AC ）－ N(BC)+N(ABC)
①只会打乒乓球的是 24－ 6－4＋ 1＝ 15（人） ②求 N （BC）可用公式二：
A 24
4
1
AB
6AC ABC
18
B∵40＝ 24＋18＋ 10－6－ 4－ N（ BC ）＋ 1
∴N （ BC）＝ 3， 即同时会打篮球和排球的是
3 人
C 10
③只会打排球的是
10－ 3－ 1＝ 6（人）
例 5. 十进制中，六位数
19xy87 能被 33 整除，求 x 和 y 的值
解：∵ 0≤ x， y≤ 9， ∴ 0≤ x+y ≤ 18， － 9≤ x－ y≤ 9， x+y>x － y ∵ 33＝ 3×11，
∴ 1＋ 9＋ x+y+8 ＋ 7 的和是 3 的倍数，故 x+y=2,5,8,11,14,17 (1+x+8) － (9+y+7) 是 11 的倍数，
故 x－ y= －4， 7
∵x+y 和 x－y 是同奇数或同偶数，∴它们的交集是下列四个方程组的解：
x y 8 x y
x
4 2 6
y 14
4 5 9
x y 11 x y 7 x y
9 2
x y 17
x y x y
x y 7 x y
12 5
解得
x y
（ x=12 不合题意舍去）答： x=2,y=6 或 x=5,y=9 或 x=9,y=2 丙练习 12
1． 负数集合与分数集合的交集是＿＿＿＿＿＿
2． 等腰直角三角形集合是＿＿＿三角形集合与＿＿＿三角形集合的交集。 3． 12 的正约数集合 A ＝｛
12 和 30 的公约数集合 C＝｛
｝，30 的正约数集合 B＝｛
｝
｝，集合 C 是集合 A 和集合 B 的＿＿
4． 解下列不等式组并把解集（不是空集）表示在数轴上：
①
3x
x
6
②
x 5x
2 0
1
3
③
x 1
④
x x
2 0 2 0
5
2x 2
5． 某数除以 3 余 1，除以 5 余 1，除以 7 余 2，求某数的最小值。 6． 九张纸各写着 1 到 9 中的一个自然数（不重复）
，甲拿的两张数字和是 10，乙拿的两张
数字差是 1，丙拿的两张数字积是 24，丁拿的两张数字商是 3，问剩下的一张是多少？
7． 求符合如下三条件的两位数：①能被 3 整除②它的平方、立方的个位数都不变③两个数
位上的数字积的个位数与原两位数的个位数字相同。
8． 据 30 名学生统计， 会打篮球的有 22 人，其中 5 人还会打排球； 有 2 人两种球都不会打。 那么①会打排球有几人？②只会打排球是几人？
9． 100 名学生代表选举学生会正付主席，对侯选人
A 和 B 进行表决，赞成 A 的有 52票，
赞成 B 的有 60 票，其中 A 、 B 都赞成的有 36 人，问对 A 、 B 都不赞成的有几人？
10. 数、理、化三科竞赛，参加人数按单科统计，数学 24 人，物理 18 人，化学 10 人；按
13、 4、 5 人，没有三科都参加的人。求参赛的总 两科统计，参加数理、数化、理化分别是
人数，只参加数学科的人数。 （本题如果改为有 11.
2 人三科都参加呢？）
x y 3 x y 5 0
12. 十进制中，六位数 1xy285能被 21 整除，求 x,y 的值（仿例 5）
初中数学培优辅导资料(11—20讲)
