2024中考数学 动点问题专题训练
例题1. 抛物线y??x2?2x?3与x轴相交于A、B两点（点A在B的左侧），与y轴相交
于点C，顶点为D.
⑴ 直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；
⑵ 连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为；
① 用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？
② 设?BCF的面积为S，求S与m的函数关系式． 【答案】⑴A??1，0?，B?3，0?，C?0，3?． 抛物线的对称轴是：x?1．
⑵①设直线BC的函数关系式为：y?kx?b． 把B?3，0?，C?0，3?分别代入得：
?3k?b?0，解得：k??1，b?3． ?b?3.?所以直线BC的函数关系式为：y??x?3． 当x?1时，y??1?3?2，∴E?1，2?． 当x?m时，y??m?3， ∴P?m，?m?3?．
在y??x2?2x?3中，当x?1时，y?4． ∴D?1，4?
当x?m时，y??m2?2m?3∴F?m，?m2?2m?3?．
∴线段DE?4?2?2，线段PF??m2?2m?3???m?3???m2?3m．
∵PF∥DE
∴当PF?ED时，四边形PEDF为平行四边形． 由?m2?3m?2解得：m1?2，m2?1．（不合题意，舍去）． 因此，当m?2时，四边形PEDF为平行四边形．
②设直线PF与x轴交于点M，由B?3，0?，O?0，0?，可得：OB?OM?MB?3． ∵S?S?BPF?S?CPE．
即S?PF?BM?PF?OM?PF??BM?OM??PF?OB．
∴S??3??m2?3m???m2?m?0≤m≤3?．
例题2. 如图，已知抛物线y?a(x?1)2?33(a?0)经过点A(?2，0)，抛物线的顶点为D，
12121212123292过O作射线OM∥AD．过顶点D平行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴
正半轴上，连结BC．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点P从点O出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为t(s)．问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？
（3）若OC?OB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t(s)，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小？并求出最小值及此时PQ的长．
yDCMyDCMPAO2PBQxAHOENQBx
0?， 【答案】（1）∵抛物线y?a(x?1)?33(a?0)经过点A??2，∴0?9a?33∴a??3 3322383 x?x?333
∴二次函数的解析式为：y??33过D作DN?OB于N， （2）∵D为抛物线的顶点∴D1，??则DN?33，AN?3，∴AD?32??33??6∴?DAO?60?
2∵OM∥AD
①当AD?OP时，四边形DAOP是平行四边形 ∴OP?6∴t?6?s?
②当DP?OM时，四边形DAOP是直角梯形 过O作OH?AD于H，AO?2，则AH?1
（如果没求出?DAO?60°可由Rt△OHA∽Rt△DNA求AH?1） ∴OP?DH?5，t?5?s?
③当PD?OA时，四边形DAOP是等腰梯形
∴OP?AD?2AH?6?2?4∴t?4?s?
综上所述：当t?6、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形．
，OC?OB，△OCB是等边三角形 （3）由（2）及已知，?COB?60°OP?t，BQ?2t，∴OQ?6?2t?0?t?3? 则OB?OC?AD?6，过P作PE?OQ于E，则PE?∴SBCPQ3t 223?3?631133 ??6?33??(6?2t)?t=?t???228222??当t?时，SBCPQ的面积最小值为OP=∴此时OQ?3，32633 8PE?33 43339，OE?∴QE?3??24442?33??9?23322∴PQ?PE?QE?? ???4????42????
例题3. 已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P
分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y． （1）求AB的长；
（2）如图1，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．
图1
【答案】
（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．
在Rt△AOE中，cos∠BAO＝
AE1 ?，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．
AO313（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．
AOAP3x2．所以?．所以AC?x． ?ABAC2AC313221在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得． ??AHACCH3224212所以AH?AC?x，CH?AC?x．
39394222在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得y2?(x)?(3?x)2．
993624整理，得y?x?x?9．定义域为x＞0．
813由△OAB∽△PAC，得
图2 图3
（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．
OAOC．所以OC2?OA?OP． ?OCOP3641515解方程x2?x?9?3(3?x)，得x?．此时⊙P的半径为．
81344因此
②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，AC?x． 如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．
AOAC．因此AC2?AO?AP． ?ACAP22727解方程(x)2?3x，得x?．此时⊙P的半径为．
34423所以
图4 图5 图6
例题4. 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为(0,4)，点B的
坐标为(4,0)，点C的坐标为(－4,0)，点P在射线AB上运动，连结CP与y轴交于点D，连结BD．过P、D、B三点作⊙Q，与y轴的另一个交点为E，延长DQ交⊙Q于F，连结EF、BF．
（1）求直线AB的函数解析式；
（2）当点P在线段AB（不包括A、B两点）上时． ①求证：∠BDE＝∠ADP； ②设DE＝x，DF＝y，请求出y关于x的函数解析式； （3）请你探究：点P在运动过程中，是否存在以B、D、F为顶点的直角三角形，满足两条直角边之比为2∶1？如果存在，求出此时点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1
【答案】
（1）直线AB的函数解析式为y＝－x＋4． （2）①如图2，∠BDE＝∠CDE＝∠ADP；
②如图3，∠ADP＝∠DEP＋∠DPE，如图4，∠BDE＝∠DBP＋∠A， 因为∠DEP＝∠DBP，所以∠DPE＝∠A＝45°．
所以∠DFE＝∠DPE＝45°．因此△DEF是等腰直角三角形．于是得到y?2x．
图2 图3 图4
（3）①如图5，当BD∶BF＝2∶1时，P(2,2)．思路如下： 由△DMB∽△BNF，知BN?DM?2．
设OD＝2m，FN＝m，由DE＝EF，可得2m＋2＝4－m．解得m?． 因此D(0,)．再由直线CD与直线AB求得交点P(2,2)． ②如图6，当BD∶BF＝1∶2时，P(8,－4)．思路同上．
432312
图5 图6
例题5. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，sinB?
3，⊙B的半径长为1，⊙B交5边CB于点P，点O是边AB上的动点．
（1）如图1，将⊙B绕点P旋转180°得到⊙M，请判断⊙M与直线AB的位置关系；
（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP是等腰三角形时，求OA的长；
（3）如图3，点N是边BC上的动点，如果以NB为半径的⊙N和以OA为半径的⊙O外切，设NB＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式及定义域．
图1 图2 图3
【答案】
（1） 在Rt△ABC中，AC＝6，sinB?3，
5
所以AB＝10，BC＝8．
过点M作MD⊥AB，垂足为D．
在Rt△BMD中，BM＝2，sinB?MD?3，所以MD?6．
BM55因此MD＞MP，⊙M与直线AB相离． 图4
（2）①如图4，MO≥MD＞MP，因此不存在MO＝MP的情况．
②如图5，当PM＝PO时，又因为PB＝PO，因此△BOM是直角三角形． 在Rt△BOM中，BM＝2，cosB?BO?4，所以BO?8．此时OA?42．
BM555③如图6，当OM＝OP时，设底边MP对应的高为OE．
在Rt△BOE中，BE＝3，cosB?BE?4，所以BO?15．此时OA?65．
2BO588图5 图6
（3）如图7，过点N作NF⊥AB，垂足为F．联结ON． 当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ON＝x＋y．
在Rt△BNF中，BN＝y，sinB?3，cosB?4，所以NF?3y，BF?4y．
55554在Rt△ONF中，由勾股定理得ON2＝OF2＋NF2． OF?AB?AO?BF?10?x?y，
5
于是得到(x?y)2?(10?x?4y)2?(3y)2．
55整理，得y?250?50x．定义域为0＜x＜5．
x?40
图7 图8
例题6. 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO
方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．
（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；
（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？
（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最
小值． 图1
OM2?4tON6?4t2【答案】 （1）当M、N都在O右侧时，??1?2t，??1?t，
OA2OB63所以OM?ON．因此MN与AB不平行．
OAOB（2）①如图2，当M、N都在O右侧时，∠OMN＞∠B，不可能△OMN∽△OBA．
②如图3，当M在O左侧、N在O右侧时，∠MON＞∠BOA，不可能△OMN∽△OBA．
③如图4，当M、N都在O左侧时，如果△OMN∽△OBA，那么ON?OA．
OMOB所以4t?6?2．解得t＝2．
4t?26图2 图3 图4
（3）①如图2，OM?2?4t，OH?1?2t，MH?3(1?2t)． NH?ON?OH?(6?4t)?(1?2t)?5?2t．
②如图3，OM?4t?2，OH?2t?1，MH?3(2t?1)． NH?ON?OH?(6?4t)?(2t?1)?5?2t．
③如图4，OM?4t?2，OH?2t?1，MH?3(2t?1)． NH?OH?ON?(2t?1)?(4t?6)?5?2t．
综合①、②、③，s?MN2?MH2?NH2
??(5?2t)2?16t2?32t?28?16(t?1)2?12． ??3(2t?1)??2
所以当t＝1时，甲、乙两人的最小距离为12千米．
例题7. 已知点 (1，3)在函数y?
k
(x?0)的图像上，矩形ABCD的边BC在x轴上，Exk
是对角线BD的中点，函数y?(x?0)的图像经过A、E两点，若?ABD?45?，
x
求E点的坐标.
yAEOBDCx
y
AEDOBCx
【解析】点(1，3)在函数y?的图像上，k?3.
又E也在函数y?的图像上，故设E点的坐标为(m，过E点作EF?x轴于F，则EF?3. m6. mkx
kx3). m又E是对角线BD的中点，AB?CD?2EF?故A点的纵坐标为
63m6，代入y?中，得A点坐标为 (，). mx2mmm?.由?ABD?45?，得?EBF?45?，BF?EF. 22因此BF?OF?OB?m?即有
m36). ?.解得m??6.而m?0，故m?6.则E点坐标为 (6，22m6) 2【答案】(6，
例题8. 如图，?POA2A1A2都是等腰直角三角形，点P1、P2在函数y?11、?P4(x?0)的图x像上，斜边OA1、A1A2、都在x轴上，求点A2的坐标.
yyP1P2OA1A2xOP1P2CA1DA2x
?OC，P2D?A1D，【解析】分别过点P1、P2做x轴的垂线，根据题意易得PC1PC1?OC?4，P2D?OD?4，得OA2?42，所以A2(42，0).
【答案】A2(42，0).
例题9. 如图所示，……，PP2?x2，y2?，Pn?xn，yn?在函数y?1?x1，y1?，9?x?0?的图象上，x?OP1A1，?P2A1A2，?P3A2A3，…，?PnAn?1An，…都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2，…，An?1An都在x轴上，则y1?y2?…?yn?______________．
yP1P2OA1。。。。。xA2【解析】由已知易得P3?，则y1?3，点P2横坐标为6?y2， 1?3，那么可得?6?y2?y2?9，解得y2?32?3，
同理点P3横坐标为62?y3，那么可得62?y3y3?9，
??解得y3?33?32，
依此类推，Pn的纵坐标为yn?3n?3n?1，
∴y1?y2?…?yn?3?32?3?33?32?…?3n?3n?1?3n． 【答案】3n
例题10. 如图，P是函数y?1(x?0)图象上一点，直线y??x?1交x轴于点A，交y轴2x于点B，PM?Ox轴于M，交AB于E，PN?Oy轴于N，交AB于F.求AF?BE的
值.
yBNOPFMEAx
【解析】设点P(x，y)，过点E、F分别作x轴的垂线，易得AF?2y，BE?2x，AF?BE?2xy?1. 【答案】1
例题11. 已知：在矩形AOBC中，OB?4，OA?3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图
所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的
反比例函数y?(k?0)的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S?S△OEF?S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
yykxAECAECFOBxONMBFx
【答案】（1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，
kk，y2?． x1x21111∴S1?x1y1?k，S2?x2y2?k．
2222∴S1?S2，即△AOE与△FOB的面积相等．
由题意得y1?????3?，F?4，?， （2）由题意知：E，F两点坐标分别为E?，∴S△EOF?S矩形AOBC?S△AOE?S△BOF?S△ECF∴S??kk?3??4?11?12?k?k?S△ECF?12?k?S△ECF
2212k?k． 121当k???6时，S有最大值．
1??2?????12??1S最大值??3．
?1?4?????12?（3）解：设存在这样的点F，将沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN?OB，垂足为N．
11由题意得：EN?AO?3，EM?EC?4?k，MF?CF?3?k，
34∵?EMN??FMB??FMB??MFB?90o ∴?EMN??MFB．
又∵?ENM??MBF?90o， ∴△ENM∽△MBF． ENEM∴ ?MBMF1??14?k4?1?k?33??12? ∴?1?MB3?1k?3?1?k?4?12?9∴MB?．
4QMB2?BF2?MF2，
21． 8k21∴BF??
432解得k?∴存在符合条件的点F，它的坐标为?4，?．
32???21?
例题12. 如图，点A?m，m?1?，B?m?3，m?1?都在反比例函数y?k的图象上． x（1）求m，k的值；
（2）如果M为x轴上一点，N为y轴上一点， 以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，试求直线MN的函数表达式．
yABOxyN1ABOM1N2xM2【解析】（1）由题意可知，m?m?1???m?3??m?1?．解，得m?3．
∴A?3，4?，B?6，2?；
∴k?4?3?12．
（2）存在两种情况，如图：
①当M点在x轴的正半轴上，N点在y轴的正半轴 上时，设M1点坐标为?x1，0?，N1点坐标为?0，y1?．
∵ 四边形AN1M1B为平行四边形，
∴线段N1M1可看作由线段AB向左平移3个单位，
再向下平移2个单位得到的（也可看作向下平移2个单位，再向左平
移3个单位得到的）．
由（1）知A坐标为（3，4），B坐标为（6，2），
（2； ∴N1点坐标为，即N（0，4-2）10，）M1点坐标为（6－3，0），即M1（3，0）．
设直线M1N1的函数表达式为y?k1x?2，把x?3，y?0代入，解得k1??． ∴ 直线M1N1的函数表达式为y??x?2．
②当M点在x轴的负半轴上，N点在y轴的负半轴上时，
（x2，0）（0，y2）设M2点坐标为，N2点坐标为．
∵AB∥N1M1，AB∥M2N2，AB＝N1M1，AB＝M2N2，
2323N1M∥M2N2，N1M1＝M2N2． ∴ ∴线段M2N2与线段N1M1关于原点O成中心对称． ∴M2点坐标为（-3，0），N2点坐标为（0，-2）．
设直线M2N2的函数表达式为y?k2x?2，把x??3，y?0代入，解得
2k2??，
3∴ 直线M2N2的函数表达式为y??x?2．
所以，直线MN的函数表达式为y??x?2或y??x?2．
【答案】（1）m?3，k?12；（2）y??x?2或y??x?2
2323232323
[精选]2024中考数学 难点突破：动点问题专题训练（含答案）
