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19.已知函数y?f?x?的定义域为R，并且满足f?x?y??f?x??f?y?，f???1，且当x?0时，f?x??0．
?1??3?（1）求f?0?的值；
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）判断函数的单调性，并解不等式f?x??f?2?x??2．
【答案】(1) f?0??0 (2) f?x?是R上的奇函数.证明见解析；(3) f?x?是R上的增函数，x????,???2?? 3?【解析】 【分析】
（1）赋值令x?y?0，则可求f?0?的值； （2）令y??x，结合f?0?的值，可得结论；
（3）利用单调性的定义，结合足f?x?y??f?x??f?y?，可得函数的单调性，进而将抽象不等式转化为具体不等式，即可求解．
【详解】（1）解：令x?y?0，则f?0??f?0??f?0?， ∴f?0??0.
（2）解：令y??x，得f?0??f?x??f??x??0，
∴f??x???f?x?， 故函数f?x?是R上的奇函数.
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（3）解：f?x?是R上的增函数，证明如下：
任取x1,x2?R，x1?x2，则x2?x1?0， ∴f?x2??f?x1??f?x2?x1?x1??f?x1??f?x2?x1??f?x1??f?x1??f?x2?x1??0，
∴f?x1??f?x2?， 故f?x?是R上的增函数.
?1?f∵???1， ?3??2??11??1?f?f??f∴????????3??33??3??1?f???2， ?3??2?∴f?x??f?2?x??f??x??2?x????f?2x?2??f?3?，
??又由y?f?x?是定义在R上的增函数，得2x?2?2， 32?2?x???,?解之得x??，故??．
3?3?【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，考查赋值法的运用，确定函数的单调性是关键．
20.已知函数f?x??lnx?12ax?2x. 2（1）若函数f?x?存在单调递减区间，求实数a的取值范围； （2）若函数f?x?在?1,4?上单调递减，求实数a的取值范围.
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【答案】(1) ??1,??? (2) ???7?,??? ?16?【解析】 【分析】
（1）利用导数进行求解，即f'?x??0在?0,???上有解．可得内至少有一个解，通过参变分离，转化为最值问题求解；
1?ax?2?0在正数范围x（2）函数f?x?在?1,4?上单调递减转化为f?x?的导函数f'?x?在?1,4?上小于等于零恒成立，进而转化为最值求解．
【详解】解：（1）因为f?x??lnx?12ax?2x，x??0,???， 2所以f'?x??1?ax?2，x??0,???. x因为f?x?在?0,???上存在单调递减区间，
所以当x??0,???时，
112?ax?2?0有解，即a?2?有解. xxx设g?x??12?，所以只要a?g?x?min即可. 2xx2?1?而g?x????1??1，所以g?x?min??1.所以a??1. ?x?所以实数a的取值范围为??1,???. （2）因为f?x?在?1,4?上单调递减，
所以当x??1,4?时，f'?x??121?ax?2?0恒成立，即a?2?恒成立. xxx实用文档 精心整理
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由（1）知g?x??12?，所以a?g?x?max， x2x2?1?而g?x????1??1， ?x?1?1?77??,1?，所以g?x?max??（此时x?4），所以a??， x?4?1616?7?,???. ?16?因为x??1,4?，所以
所以实数a的取值范围是??【点睛】本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解，考查同学们灵活运用知识解决问题的能力． 21.设函数f?x??emx?x2?mx.
（1）求函数f?x?的单调区间；
（2）若对于任意x1,x2???1,1?，都有f?x1??f?x2??e?1，求m的取值范围． 【答案】（1）f?x?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增（2）??1,1?．
【解析】 【分析】
（1）求出f?x?的导函数f'?x??me的单调性；
?mx?1??2x，对m的正负分类讨论来研究函数f?x???f?1??f?0??e?1（2）利用（1）的结论，将问题转化为?，构造函数
f?1?f0?e?1??????g?t??et?t?e?1，研究其单调性及最值，可求出m的取值范围．
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【详解】（1）f'?x??me?mx?1??2x．
若m?0，则当x????,0?时，emx?1?0，f'?x??0；
当x??0,???时，emx?1?0，f'?x??0．
若m?0，则当x????,0?时，emx?1?0，f'?x??0；
当x??0,???时，emx?1?0，f'?x??0．
所以，f?x?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f?x?在??1,0?单调递减，在?0,1?单调递增，故f?x?在
x?0处取得最小值.
所以对于任意x1,x2???1,1?，f?x1??f?x2??e?1的充要条件是：
??em?m?e?1?f?1??f?0??e?1，即??m①， ?f?1?f0?e?1????e?m?e?1???设函数g?t??e?t?e?1，则g'?t??e?1.
tt当t?0时，g'?t??0；
当t?0时，g'?t??0.
故g?t?在???,0?单调递减，在?0,???单调递增. 又g?1??0，g??1??e?2?e?0，
?1故当t??1,1时，g?t??0.
即当m???1,1?时，g?m??0，g??m??0，即①式成立.
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甘肃省武威市第一中学2024年高三上学期10月月考数学（理）试题 Word版含解析
