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河南省郑州市第一中学2024届高三上学期期中考试数学
（理）试题
一、选择题（本大题共12小题）
1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合A={x|3x-x2＞0}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=（ ）
A. B. C. D.
3. 下列说法正确的是（ ）
A. “若,则”的否命题是“若,则” B. ,使
C. “若,则”是真命题
D. 命题“若,则方程有实根”的逆命题是真命题
4. 已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
5. 曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
6. 如果执行程序框图，且输入n=6，m=4，则输出的p=
（ ）
A. 240 B. 120 C. 720 D. 360
7. 若当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（-x）是
（ ）
A. 奇函数且图象关于点对称 C. 奇函数且图象关于直线对称 B. 偶函数且图象关于直线对称 D. 偶函数且图象关于点对称
8. 3男2女共5名同学站成一排合影，则2名女生相邻且不站两端的概率为（ ）
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A. B. C. D.
9. 已知x=log52，y=log2，z=，则下列关系正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知△ABC中，，延长BD交AC于E，则=（ ）
A. B. C. D.
11. 对于函数y=f（x），若存在区间[a，b]，当x∈[a，b]时的值域为[ka，kb]（k＞
0），则称y=f（x）为k倍值函数若f（x）=ex+2x是k倍值函数，则实数k的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知双曲线-=1的左、右焦点分别F1、F2，O为双曲线的中心，P是双曲线右支上
的点，△PF1F2的内切圆的圆心为I，且⊙I与x轴相切于点A，过F2作直线PI的垂线，垂足为B，若e为双曲线的率心率，则（ ）
A. C.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
B.
D. 与关系不确定
13. 根据某地方的交通状况绘制了交通指数的频率分布直方图（如图），若样本容量
为500个，则交通排指数在[5，7）之间的个数是______
14. 已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，c=2，且2ccosB=2a-b，
则△ABC面积的最大值为______ 15. 若数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=，则a25=______． 16. 已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，其外接球的表面积为56π，
△PAB是等边三角形，平面PAB⊥平面ABCD，则a=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17. 已知等差数列的公差d≠0，其前n项和为Sn，若，且成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
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（2）若，证明：.
18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD为等腰梯
形，AD∥BC，PA=AB=BC=CD，PA⊥PD，∠PAD=60°，Q为PD的中点． （1）证明：CQ∥平面PAB；
（2）求二面角P-AQ-C的余弦值．
19. 在△ABC中，点D在边AB上，DA=DC，BD=2，
∠B=45°．
（1）若△BCD的面积为3，求CD； （2）若AC=2，求A．
20. 已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦点分别为F1，F2，椭圆E的离心率为，经过点
（1，）．经过F1，F2作平行直线m，n，交椭圆E于两点AB和两点C，D． （1）求E的方程；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．
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21. 函数f（x）=2x-ex+1．
（1）求f（x）的最大值；
（2）已知x∈（0，1），af（x）＜tanx，求a的取值范围．
22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：，t为参数，θ∈[0，π）．以坐标原
点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为：ρ=8sin（θ+）．
（1）在直角坐标系xOy中，求圆C的圆心的直角坐标；
（2）设点P（1，），若直线l与圆C交于A，B两点，求证：|PA|?|PB|为定值，并求出该定值． 23. 已知函数．求不等式的解集M；
设a，，证明：．
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答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：在复平面内，复数==对应的点位于第一象限． 故选：A．
利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题． 2.【答案】C
【解析】解：∵A={x|0＜x＜3}，B={x|-1＜x＜1}， ∴A∩B={x|0＜x＜1}． 故选：C．
可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题． 3.【答案】C
【解析】解：A错，否命题是“若a≤1，则a2≤1”；
B错，根据指数函数的性质，第一象限内，底大图高，所以不存在?x0∈（0，+∞），使；
C正确．用逆否命题法判断；，则，显然成立；
D错，逆命题是“若方程x2+x-m=0有实根，则m＞0“，方程x2+x-m=0有实根，所以不成立． 故选：C．
利用否命题，逆否命题，和学科知识判断即可．
考察否命题，命题真假的判断，注意互为逆否命题的命题同真同假的应用，基础题． 4.【答案】A
【解析】解：双曲线的离心率为， 则=，令c=t，a=2t，则b==t， 则双曲线的渐近线方程为y=x，
2x， 即为y=±
故选：A．
运用离心率公式，令c=t，a=2t，则b==t，再由渐近线方程，即可得到结论．
本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率公式和渐近线方程，考查运算能力，属于基础题． 5.【答案】D
【解析】解：由题意，y′=-e-xcosx-e-xsinx=-e-x（sinx+cosx）， 则y′|x=0=-e0（0+1）=-1．
∴曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线斜率为-1， ∴曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线方程为 y-1=-（x-0） 即：x+y-1=0． 故选：D．
本题先求出曲线y=e-xcosx的一阶导数，然后代入x=0计算出曲线y=e-xcosx在点（0，1）处的切线斜率，即可得到切线方程．
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河南省郑州市第一中学2024届高三上学期期中考试数学（理）试题 Word版含解析
