2024高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试10对数与对数函数(含解析)苏教

答案 B

解析 因为ln 2＝loge2，所以0

2

0

ln 2

<2，即1

1

b＝2＋2ln 2>2，所以c

21．(2024·大庆模拟)设函数f(x)＝x＋log2(x＋x＋1)，则对任意实数a，b，若a＋

3

2

b≥0，则( )

A．f(a)＋f(b)≤0 C．f(a)－f(b)≤0 答案 B

解析 设f(x)＝x＋log2(x＋x＋1)，其定义域为R，f(－x)＝－x＋log2(－x＋x＋1)＝－x－log2(x＋x＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，且在[0，＋∞)上单调递增，故f(x)在R上单调递增，那么a＋b≥0，即a≥－b时，f(a)≥f(－b)，得f(a)≥－f(b)，可得f(a)＋f(b)≥0.故选B.

22．(2024·安庆二模)若函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的定义域与值域都是[m，

3

2

3

2

3

2

B．f(a)＋f(b)≥0 D．f(a)－f(b)≥0

n](m

A．(1，＋∞) C．(1，e) 答案 D

解析 函数f(x)＝logax的定义域与值域相同等价于方程logax＝x有两个不同的实数ln xln xln x解．因为logax＝x?＝x?ln a＝，所以问题等价于直线y＝ln a与函数y＝的

ln axxln x1

图象有两个交点．作函数y＝的图象，如图所示．根据图象可知，当0＜ln a＜时，即1

xe1ln x＜a＜e时，直线y＝ln a与函数y＝的图象有两个交点．故选D.

exB．(e，＋∞) D．

1＋x?1??1?23．(2024·陕西咸阳高三联考)已知函数f(x)＝x·ln ，a＝f?－?，b＝f??，c1－x?π??e?

?1?＝f??，则以下关系成立的是( )

?4?

A．c

B．c

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1＋x解析 因为f(x)＝x·ln＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]，所以f(－x)＝(－x)[ln (1

1－x?1?－x)－ln (1＋x)]＝x[ln (1＋x)－ln (1－x)]＝f(x)，所以f(x)为偶函数，所以a＝f?－??π?

111?1??1??1??1?＝f??.当0

?|log2x－1|，0＜x≤4，

24．(2024·山东省烟台市高三(上)期末)已知函数f(x)＝?

?3－x，x＞4，

设a，b，c是三个不相等的实数，且满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围为________． 答案 (16,36)

解析 作出函数f(x)的图象如图所示．

当x＞4时，由f(x)＝3－x＝0，得x＝3，得x＝9，若a，b，c互不相等，不妨设a＜b＜c，因为f(a)＝f(b)＝f(c)，所以由图象可知0＜a＜2＜b＜4,4＜c＜9，由f(a)＝f(b)，得1－log2a＝log2b－1，即log2a＋log2b＝2，即log2(ab)＝2，则ab＝4，所以abc＝4c，因为4＜c＜9，所以16＜4c＜36，即16＜abc＜36，所以abc的取值范围是(16,36)．

一、高考大题

本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题

1．(2024·湖北黄冈摸底)设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2. (1)求a的值及f(x)的定义域；

?3?(2)求f(x)在区间?0，?上的最大值．

?2?

解 (1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，∴a＝2.

??1＋x>0，由?

?3－x>0，?

得－1

∴函数f(x)的定义域为(－1,3)．

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(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x) ＝log2[(1＋x)(3－x)] ＝log2[－(x－1)＋4]，

∴当x∈[0,1]时，f(x)是增函数；

2

?3?当x∈?1，?时，f(x)是减函数， ?2?

?3?故函数f(x)在?0，?上的最大值是f(1)＝2. ?2?

1－x2．(2024·福建漳州模拟)已知函数f(x)＝－x＋log2.

1＋x(1)求f?

?1?＋f?－1?的值；

????2024??2024?

(2)当x∈(－a，a]，其中a∈(0,1)，a是常数时，函数f(x)是否存在最小值？若存在，求出f(x)的最小值；若不存在，请说明理由．

1－x1＋x?1?＋f?－1?＝0.

解 (1)∵f(x)＋f(－x)＝log2＋log2＝log21＝0，∴f????1＋x1－x?2024??2024?(2)函数f(x)存在最小值．f(x)的定义域为(－1,1)， ∵f(x)＝－x＋log2?－1＋

?

?

2?， x＋1??

当x∈(－1,1)时，f(x)为减函数，

∴当a∈(0,1)，x∈(－a，a]时，f(x)单调递减． 1－a∴当x＝a时，f(x)min＝－a＋log2.

1＋a3．(2024·渭南模拟)已知函数f(x)＝ln

x＋1

. x－1

(1)求函数f(x)的定义域，并判断函数f(x)的奇偶性； (2)对于x∈[2,6]，f(x)＝ln 解 (1)由

x＋1 m>ln恒成立，求实数m的取值范围． x－1x－17－xx＋1

>0，解得x<－1或x>1， x－1

∴函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)， 当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，

f(－x)＝ln

＝ln ?

－x＋1x－1

＝ln －x－1x＋1

?x＋1?－1＝－ln x＋1＝－f(x)． ?x－1?x－1?

x＋1

是奇函数． x－1

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∴f(x)＝ln

(2)由于x∈[2,6]时，

x＋1mf(x)＝ln >ln 恒成立，

x－1x－17－x∴

x＋1m>>0恒成立， x－1x－17－x∵x∈[2,6]，∴0

由二次函数的性质可知，当x∈[2,3]时函数g(x)单调递增，x∈[3,6]时函数g(x)单调递减，

∴当x∈[2,6]时，g(x)min＝g(6)＝7， ∴0

故实数m的取值范围为(0,7)．

2

??4．(2024·大庆模拟)已知函数f(x)＝lg?x＋－2?，其中a是大于0的常数．

?

?

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)当a∈(1,4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围． 解 (1)当a>1时，定义域为(0，＋∞)， 当a＝1时，定义域为{x|x>0且x≠1}，

当01＋1－a}． (2)设g(x)＝x＋－2，当a∈(1,4)，x∈[2，＋∞)时，

axaxax2－ag′(x)＝1－2＝2>0恒成立，

xx∴g(x)＝x＋－2在[2，＋∞)上是增函数，

ax??∴f(x)＝lg?x＋－2?在[2，＋∞)上的最小值为f(2)＝lg .

2?x?

(3)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0， 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立， ∴a>3x－x，令h(x)＝3x－x，

2

2

aaax?3?292

则h(x)＝3x－x＝－?x－?＋，

?2?4

又h(x)在x∈[2，＋∞)上是减函数， ∴h(x)max＝h(2)＝2，

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∴a的取值范围为(2，＋∞)．

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