必要性：
?11P(X?EX)?P(|X?EX|?0)?P(U{|X?EX|?})??P(|X?EX|?),
nnn?1n?1?由切比雪夫不等式，有
1DXP(|X?EX|?)??0, 2n?1????n?故P(X?EX)?0,从而P(X?EX)?1.
§ 常用概率分布
本节主要内容包括二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布与负二项分布正态分布、均匀分布、指数分布、??分布、?-分布和对数正态分布。主要介绍二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 一、离散型随机变量 1. 退化分布
若随机变量X以概率1取某个常数a，即X~??1??，则称X服从a处的退化分布。
??2．0－1分布．
若随机变量X的分布列为：
2?a?P(X=k)=pk(1?p)1?k， k=0，1，(0 则称X服从以p为参数的0-1分布(或两点分布) ，记为X~B(1,p)。 若某个随机试验的结果只有两个，如产品是否合格，试验是否成功，掷硬币是否出现正面等等，它们的样本空间为??{?1,?2},我们总能定义一个服从0-1分布的随机变量 ?1当?1发生时，X?? 0当?发生时。?2即它们都可用0-1分布来描述，只不过对不同的问题参数p的值不同而已。 易知EX?p,DX?p(1?p)。 3．超几何分布 若随机变量X的概率分布为 kn?kCMCN?M(k=0, 1, …, min(n, M)).P{X?k}?nCN 则称X服从参数为M,N,n的超几何分 布。 记作 X～H(n,M,N). 由(1?x)(1?x)nMN?M?(1?x)N知 kn?knCMCNCN?MP(X?k)???n?1. ?nCNCNk?0k?0n设有N个产品，其中M个不合格品。若从中不放回地随机抽取n个，则其中含有的不合格品 数是一个随机变量，由古典概率计算公式有X服从参数为M、N和n的超几何分布。 EX?nMnM(N?M)(N?n),DX?. NN2(N?1)4．二项分布 i）定义 若随机变量X的分布列为 kkn?k P(X?k)?Cnpq,k?0,1,...,n, 其中p+q=1，则称X服从以n，p为参数的二项分布，记为X~B(n,p)。 可以证明： kkn?kP(X?k)?Cnpq?0,k?0,1,2,L,n,?P(X?k)??Cnkpkqn?k?(p?q)n?1.k?0k?0nn kkn?kCnpq正好是二项式(p?q)n展开式的一般项，故称二项分布。特别地，当n=1时 P(X?k)?pkq1?k (k=0,1)即为0-1分布。 ii）二项分布的概率背景 进行n重Bernoulli试验，设在每次试验中P?A??p，PA?1?p?q,令X：在这n次试验中事件A发生的次数．则X~B?n，p?. iii）二项分布的分布形态 若X~B?n，p?，则 ??P?X?k?P?X?k?1??1??n?1?p?kkq?q?1?p? 由此可知，二项分布的分布P?X?k?先是随着 k 的增大而增大，达到其最大值后再随着k 的增大而减少．这个使得P?X?k?达到最大值的k0称为该二项分布的最可能次数。可以证明： 如果?n?1?p不是整数，则k0????n?1?p??；如果?n?1?p是整数，则k0??n?1?p或?n?1?p?1. iv) 二项分布是超几何分布的极限分布 设随机变量X服从超几何分布H(n,M,N),则当N??时，X近似的服从二项分布B(n,p),即下面的近似等式成立: kn?kCMCNkkn?k?M?Cpq.（*） nnCN其中p?MN?M,q?1?p?. NNML(M?k?1)(N?M)L[N?M?(n?k)?1]?kn?kCMCNk!(n?k)!证明：n?M?N(N?1)L(N?n?1)CN n!kML(M?k?1)?(N?M)L[N?M?(n?k)?1]?Cn?N(N?1)L(N?n?1) MMk?1N?MN?Mn?k?1L(?)?L(?)kNNNNNN?Cn?1n?1(1?)L(1?)NN k?1n?k?1pL(p?)?qL(q?)kNN?Cn?,1n?1(1?)L(1?)NNMN?M其中p?,q?1?p?.当N??时，得 NNkn?kCMCNkkn?k?Mlim?Cnpq. nN??CN所以，当N充分大时，近似等式（*）成立。 v)例子 例25 对同一目标进行300次独立射击，设每次射击时的命中率均为，试求300次射击最可能命中几次？其相应的概率是多少？ 解：对目标进行300次射击相当于做300重Bernoulli 试验．令：X表示300次射击命中目标的次数。则由题意X~B?300，0.44?．由于 它不是整数因此，最可能射击的命中次数为 ?300?1??0.44?132.44，k0?[132.44]?132.其相应的概率为 132P?X?132??C300?0.44132?0.56168?0.04636. 例26 某厂长有7个顾问，假定每个顾问贡献正确意见的概率为，且设顾问与顾问之间是否贡献正确意见相互独立。现对某事可行与否个别征求各顾问的意见，并按多数顾问的意见 作出决策，试求作出正确决策的概率。 解 设X=k表示事件“7个顾问中贡献正确意见的人数”，则X可能取值为0，1，2，…，7。 （视作7重贝努里实验中恰有k次发生，k个顾问贡献出正确意见）,X~B(7,。 因此X的分布列为 P(X?k)?C7k0.6k0.47?k,k?0,1,2,...,7，所求概率为 P(X?4)?P(X?4)?P(X?5)?P(x?6)?P(X?7)??C7k(0.6)k(0.4)7?k?0.7102.k?47VI)二项分布的数学期望与方差 E(X)??k?p(X?k)??k?Cpqknkk?0k?0nnn?k??k?k?0nn!pk?qn?kk!(n?k)!??k?k?1nn!n!pk?qn?k?n?p?k?pk?1?qn?k(k?1)!(n?k)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!k?1nn?1n ?np??Ck?1k?1n?1?pk?1q(n?1)?(k?1)t?k?1k?1tn?1?t??n?p?Cn?n?p?(p?q)n?1?np ?1pqt?0D(X)?E(X2)?(EX)2?E?X(X?1)?X??(EX)2?E?X(X?1)??E(X)?(EX)2?n(n?1)p2?np?(np)2 ?np?np2?npq其中 nnE?X(X?1)???k?(k?1)Cpqknkk?0n?k??k(k?1)k?0n!pkqn?kk!(n?k)!k?2?n(n?1)p?n(n?1)p?n(n?1)p2?(k?2)!?(n?2)?(k?2)?!pk?2n?2n(n?2)!?q(n?2)?(k?2) 2(n?2)!pt?qn?2?t?t?0t!?(n?2)?t?!2?Ct?0n?2tn?2pt?qn?2?t?n(n?1)p2(p?q)n?2?n(n?1)p25．泊松分布 1）定义 如果随机变量X的分布列为 P(X?k)??kk!e??,k?0,1,...， 其中参数??0，则称这个分布为泊松分布，记为X~P(?)。 易知： P(X?k)???kk!e???0,k?0,1,2,L; ??P(X?k)??k!ek?0k?0?k???e???k!?e??e??1. ?k?0??k2）泊松分布举例 单位时间内的电话呼叫次数；候车室候车的人数；1平方米上的砂眼数等。 3）二项分布的极限分布 泊松(Poisson)定理 设 n??>0，n是正整数，若limnpn???0,，则有 n???limCp(1?pn)knknn?k??kk!e??,k?0,1,2,L. 即当随机变量X~B(n, p)，(n＝0,1,2,…)， n很大，p很小且np适中(0.1?np?10时较好)时，记=np，则 P(X?k)?Cp(1?p)knkn?k??kk!e??,k?0,1,2,...,n 对称的，若n很大而q=1-p很小且nq适中时，有 P(X?k)?Cpqknkn?k?Cn?knqn?kpn?(n?k)(nq)n?k?nq?e,k?0,1,2,...,n (n?k)!例27 设每次射击命中目标的概率为，现射击600次，求至少命中3次目标的概率（用Poisson分布近似计算）． 解：设 B={ 600次射击至少命中3次目标 } 进行600次射击可看作是一600重Bernoulli试验. X：600次射击命中目标的次数 则X~B?600，0.012?． 用Poisson分布近似计算，取??600?0.012?7.2.则 P?B??P?X?3??1?P?X?3??1?P?X?0??P?X?1??P?X?2? ?1?e?7.2?7.2e?7.27.22?7.2?e?0.9745.2例28 一批二极管的次品率为,问一盒中至少装多少只这样的二极管才能使得至少有100个正品的概率在95%以上? 解：设每箱应装n?100?s件二极管，s是一个小整数，从而np?(100?s)?0.01?1,由 题条件知X~B(100?s,0.01),据题意应有0.95?P(X?s)?1?1e,查表知 ?k?0k!s
随机变量的分布及数字特征
