第二章 随机变量及其数字特征
一、教学要求
1. 理解随机变量的概念，掌握离散型和连续型随机变量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函数的概念和性质；
2. 理解分布函数的概念和性质，会利用概率分布计算有关事件的概率； 3. 会利用分布函数计算离散和连续随机变量函数的数字特征；
4. 熟练掌握退化分布、两点分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松分布和正态分布、指数分布、均匀分布等常用概率分布及其数字特征的计算和相关概率的求解；
5. 应用公式会求简单随机变量函数的概率分布及数字特征。 二、重点与难点
本章的重点是随机变量概率分布及其性质，常见的几种分布，随机变量函数的分布、数学期望和方差的计算；难点是随机变量函数的分布及数学期望的计算。
一、
随机变量
§ 随机变量及其分布
1．引入随机变量的必要性
1）在随机现象中，有很大一部分问题与数值发生关系。如：产品检验问题中，抽样中 出现的废品数；在车间供电问题中某时刻正在工作的车床数；在电讯中，某段时间的话务量等等。 2）有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。如： 掷硬币问题中，记出现正面时为“1”，出现反面时为“0”。
注：这些例子中，试验的 结果能用一个数字X来表示，这个数X是随着试验的结果的不同而变化的，也即它是样本点的一个函数，这种量以后称为随机变量。
2．引例
先看一个具体的例子: 例1 袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数． 我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为
??1，2，3????1，3，4??????2，3，4???3，4，5???1，2，4??1，2，5???1，3，5??1，4，5????
?2，3，5??2，4，5????我们记取出的黑球数为 X，则 X 的可能取值为1，2，3．因此， X 是一个变量．
但是， X 取什么值依赖于试验结果，即 X的取值带有随机性，所以，我们称 X 为随机变量．
X 的取值情况可由下表给出： 黑球数X 样本点 黑球数X 样本点 3 1 ?1，4，5? ，2，3? ?1 ?12 2 ?2，3，4? ，2，4? 2 2 ?1，2，5? ?2，3，5? 2 1 ?2，4，5? ，3，4? ?1 ?12 1 ?3，4，5? ，3，5? 由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量 X 的一个确定的取值，因此
变量 X 是样本空间?上的函数：
X?X????????
我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻划随机事件．例如
??：X????2???X?2?表示取出2个黑球这一事件；
?X?2?表示至少取出2个黑球这一事件，等等．
3．定义
1）描述性定义：定义在样本空间?上的实值函数称为随机变量,常用大写X,Y,Z等表示；随机变量的取值用小写字母x,y,z等表示。
2）严格定义：设(?,?,P)为一概率空间，X?X(?),???是定义在?上的实值函数，若对任一实数x，{?:X(?)?x}??，则称X为随机变量。 4.随机变量的例子
例2 上午 8:00～9:00 在某路口观察，令： Y：该时间间隔内通过的汽车数．
则 Y 就是一个随机变量．它的取值为 0，1，…．
?Y?100?表示通过的汽车数小于100辆这一随机事件；
?50?Y?100?表示通过的汽车数大于 50 辆但不超过 100 辆这一随机事件
例3 观察某生物的寿命（单位：小时），令： Z：该生物的寿命．
则 Z 就是一个随机变量．它的取值为所有非负实
数．?Z?1500?表示该生物的寿命不超过1500小时这一随机事件． 二、分布函数及其性质 1.分布函数的概念
定义 设(?,?,P)为一概率空间，X为定义在其上的随机变量,对任意实数x,称 F(x)?P(X?x)
为随机变量X的分布函数,且称X服从F(x),记为X~F(x).有时也可用FX(x)表明是X的分布函数. 2.例子
例4 向半径为r的圆内随机抛一点,求此点到圆心之距离X的分布函数F(x),并求P(X>
2r). 3解 事件“X?x”表示所抛之点落在半径为x(0?x?r)的圆内，故由几何概率知
?x2x2r2r25F(x)?P(X?x)?2?()2.从而P(X> )=1-P(X?)=1-()2?.
?rr33393.分布函数的性质
定理：任一分布函数F(x)都有如下三条基本性质:
（1）单调性: F(x)是定义在整个实数轴(??,??)上的单调非减函数，即对任意的x1?x2，有F(x1)?F(x2)；
（2）规范性:F(??)=limF(x)?0；
x???F(??)=limF(x)?1。
x???（3）右连续性:F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有 lim?F(x)?F(x0)，
x?x0即 F(x0?0)?F(x0)。
证明 略。
注（1）上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件。 （2）有了分布函数的定义，可以计算：
P(a?X?b)?F(b)?F(a)，P(X?a)?F(a)?F(a?)， P(X?b)?1?F(b?)等。
三、离散随机变量及其分布列 1．离散型随机变量的概念
若某个随机变量的所有可能取值是有限多个或可列无限多个，则称这个随机变量为离散型随机变量。
讨论随机变量的目的是要研究其统计规律性，要知道离散型随机变量X的统计规律必须且只须知道X的所有可能取值以及X取每一个可能值的概率。
2．分布列 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1,x2,LxnL，则称X取xi的概率
pi?p(xi)?P(X?xi),i?1,2,Ln,L 为X的概率分布列或简称为分布列，记为X~?pi?。
分布列也可用下列形式表示：
?x1??p(x1)X P ??或
p(x2)Lp(xn)L?K x1 x2 p1 p2 x2LxnLK
3.分布列的基本性质
(1)非负性：p(xi)?0,i?1,2,L; (2)正则性：
?p(x)?1.
ii?1??注 1）离散随机变量的分布函数为：F(x)?xi?x?p(x)。
i2）设离散型随机变量X的分布函数为 F?x?，xk为其间断点，k =1, 2, …, 则X
的分布律为 pk?P?X?xk??F?xk??F?xk?0?,k?1,2,L 4.例子
例5 设离散随机变量X的分布列为
23???1??， 0.250.50.25??试求P(X?0.5),P(1.5?X?2.5)，并写出X的分布函数。 解 略。
例6从1～10这10个数字中随机取出5个数字，令：
X：取出的5个数字中的最大值．试求 X 的分布列． 解：X 的取值为5，6，7，8，9，10．并且
Ck4?1P?X?k??5C10?k?5，6，L，10?
8 35252 具体写出，即可得 X 的分布列： X 5 6 7
1515P 2522522529 70252 10 126252
例7设随机变量 X 的分布列为
?1?P?X?n??c???4?n ?n?1，2，L?,试求常数c．解：由分布列的性质，得
1?1? 1??P?X?n???c???c?4，所以c?3．1n?1n?1?4?1?4??n四、连续随机变量及其密度函数 1.连续型随机变量的概念
定义 设随机变量Ｘ的分布函数为F(x)，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意ｘ，有
F(x)??x??p(t)dt，
则称X为连续随机变量，称p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数。 2.密度函数的基本性质 （１） 非负性：p(x)?0； （２） 正则性：
?????p(x)dx?1；
反过来，若已知一个函数 p(x) 满足上述性质(1)和(2),则p(x)一定是某连续型随机变量X的概率密度函数．
另外，对连续型随机变量X的分布，还具有如下性质： （1）?a,b?R,(a?b),P(a?X?b)?F(b)?F(a)?更一般的，对一般的区间B，有
?bap(x)dx。
P(X?B)??p(x)dx.
B（2）连续型随机变量X的分布函数 F(x)是连续的,但反之不真；
（3）连续型随机变量X取任一确定值的概率为0；即对于任意实数c ，P(X?c)?0； 事实上，?h?0,0?P(X?c)?P(c?h?X?c)?令h?0,??cc?hp(x)dx.
?cc?hp(x)dx?0,即得P(X=c)=0。
注：因为连续型随机变量取任一确定值是可能的，所以,概率为零的事件未必是不可能事件；
概率为1的事件也不一定是必然事件。 (4) 若P(x)在x0处连续，则有F?(x)x?x0?p(x0)
随机变量的分布及数字特征
