2．2．3独立重复实验与二项分布
教学目标：
知识与技能：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题。 过程与方法：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算。 情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解答一些简单的实际问题 教学难点：能进行一些与n次独立重复试验的模型及二项分布有关的概率的计算 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：
一、复习引入：
1 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下必然发生的事件； 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A)．
m总是接近某n3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0?P(A)?1，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 5 基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A）称为一个基本事件 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相
等，那么每个基本事件的概率都是
1，这种事件叫等可能性事件 n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A包含m个结果，那么事件A的概率P(A)?m n8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法 9.事件的和的意义:对于事件A和事件B是可以进行加法运算的 10 互斥事件:不可能同时发生的两个事件．P(A?B)?P(A)?P(B)
一般地：如果事件A1,A2,此互斥 那么就说事件A1,A2,,An中的任何两个都是互斥的，,An彼
11．对立事件:必然有一个发生的互斥事件．P(A?A)?1?P(A)?1?P(A) 12．互斥事件的概率的求法:如果事件A1,A2,,An彼此互斥，那么
P(A1?A2??An)＝P(A1)?P(A2)??P(An) 13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件 若A与B是相互独立事件，则A与B，A与B，A与B也相互独立 14．相互独立事件同时发生的概率：P(A?B)?P(A)?P(B)
一般地，如果事件A1,A2,件发生的概率的积，P(A1?A2?,An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事?An)?P(A1)?P(A2)??P(An) 二、讲解新课：
1 独立重复试验的定义：
指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验 2．独立重复试验的概率公式：
一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事
kk件恰好发生k次的概率Pn(k)?CnP(1?P)n?k．
它是?(1?P)?P?展开式的第k?1项 n3.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是
kkn?k（k＝0,1,2,…，n，q?1?p）． Pn(??k)?Cnpq，
于是得到随机变量ξ的概率分布如下： ξ 0 00nCnpq 1 … k … n nn0Cnpq P 11n?1Cnpq … kkn?kCnpq … kkn?k由于Cnpq恰好是二项展开式
00n11n?1kkn?knn0(q?p)n?Cnpq?Cnpq???Cnpq???Cnpq
中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布（binomial distribution )，
记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记Cnpq
三、讲解范例：
例1．某射手每次射击击中目标的概率是0 . 8.求这名射手在 10 次射击中， (1)恰有 8 次击中目标的概率； (2)至少有 8 次击中目标的概率．（结果保留两个有效数字．) 解：设X为击中目标的次数，则X～B (10, 0.8 ) . (1)在 10 次射击中，恰有 8 次击中目标的概率为
kkn?k＝b(k；n，p)．
8P (X = 8 ) ＝C10?0.88?(1?0.8)10?8?0.30.
(2)在 10 次射击中，至少有 8 次击中目标的概率为 P (X≥8) = P (X = 8) + P ( X = 9 ) + P ( X = 10 )
8910C10?0.88?(1?0.8)10?8?C10?0.89?(1?0.8)10?9?C10?0.810?(1?0.8)10?10
?0.68.
例2．（2000年高考题）某厂生产电子元件，其产品的次品率为5%．现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布．
解：依题意，随机变量ξ～B(2，5%)．所以，
201P(ξ=0)=C2(95%)=0.9025，P(ξ=1)=C2(5%)(95%)=0.095， 22P(??2)=C2(5%)=0.0025．
因此，次品数ξ的概率分布是 ξ 0 1 0.095 2 0.0025 P 0.9025 例3．重复抛掷一枚筛子5次得到点数为6的次数记为ξ，求P(ξ>3)． 解：依题意，随机变量ξ～B?5,?．
45?1??6?1?1?5255?1? ∴P(ξ=4)=C???=，P(ξ=5)=C5=． ???6?7776?6?677764513 3888例4．某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两个有效数字）：
∴P(ξ>3)=P(ξ=4)+P(ξ=5)=
（1）5次预报中恰有4次准确的概率； （2）5次预报中至少有4次准确的概率 解：（1）记“预报1次，结果准确”为事件A．预报5次相当于5次独立重复试验，根据n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率计算公式，5次预报中恰有4次准确的概率
445?4P?0.84?0.41 5(4)?C5?0.8?(1?0.8)答：5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41.
（2）5次预报中至少有4次准确的概率，就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和，即
445?45P?P?C5?0.85?(1?0.8)5?5 5(4)?P5(5)?P5(4)?C5?0.8?(1?0.8)?0.84?0.85?0.410?0.328?0.74 答：5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74．
例5．某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是
1，求1小时内5台机床中4至少2台需要工人照管的概率是多少？（结果保留两个有效数字）
解：记事件A＝“1小时内，1台机器需要人照管”，1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 1535441141(1)?C??(1?)， 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率P55441小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率P5(0)?(1?)?()， 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为
P?1??P)??0.37 5(0)?P5(1答：1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37．
点评：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法 例6．某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？
解：设要使至少命中1次的概率不小于0.75，应射击n次 记事件A＝“射击一次，击中目标”，则P(A)?0.25． ∵射击n次相当于n次独立重复试验，
n∴事件A至少发生1次的概率为P?1?Pn(0)?1?0.75．
13n1n由题意，令1?0.75?0.75，∴()?，∴n?4?4.82，
344lg4∴n至少取5．
lg答：要使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击5次 例7．十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少？停几次概率最大？
解：依题意，从低层到顶层停不少于3次，应包括停3次，停4次，停5次，……，直到停9次 ∴从低层到顶层停不少于3次的概率
113131651514919P?C9()()?C94()4()5?C9()()??C9()
22222221191923335990129??(C9?C94?C9??C9)()9??2?(C?C?C)()?(2?46)()? 999??2222561k1k19?k?C9k()9， 设从低层到顶层停k次，则其概率为C9()()222k19k∴当k?4或k?5时，C9最大，即C9()最大，
2233答：从低层到顶层停不少于3次的概率为，停4次或5次概率最大．
256例8．实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛，规定5局3胜制（即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛）．
（1）试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率． （2）按比赛规则甲获胜的概率．
解：甲、乙两队实力相等，所以每局比赛甲获胜的概率为
11，乙获胜的概率为． 22记事件A=“甲打完3局才能取胜”，记事件B=“甲打完4局才能取胜”，
记事件C=“甲打完5局才能取胜”．
①甲打完3局取胜，相当于进行3次独立重复试验，且每局比赛甲均取胜 ∴甲打完3局取胜的概率为P(A)?C3()?31231． 8②甲打完4局才能取胜，相当于进行4次独立重复试验，且甲第4局比赛取胜，前3局为2胜1负 ∴甲打完4局才能取胜的概率为P(B)?C3?()?2122113??． 2216③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验，且甲第5局比赛取胜，前4局恰好2胜2负 121213?．
22216(2)事件D＝“按比赛规则甲获胜”，则D?A?B?C， 又因为事件A、B、C彼此互斥，
1331??． 故P(D)?P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)??8161621答：按比赛规则甲获胜的概率为．
2∴甲打完5局才能取胜的概率为P(C)?C4?()?()?2例9．一批玉米种子，其发芽率是0.8.（1）问每穴至少种几粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%？（2）若每穴种3粒，求恰好两粒发芽的概率．（lg2?0.3010）
解：记事件A＝“种一粒种子，发芽”，则P(A)?0.8，P(A)?1?0.8?0.2， （1）设每穴至少种n粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%．
∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验，记事件B＝“每穴至少有一粒发芽”，则
00nnP(B)?Pn(0)?Cn0.8(1?0.8)?0.2．
∴P(B)?1?P(B)?1?0.2n．
由题意，令P(B)?98%，所以0.2?0.02，两边取常用对数得，
nnlg0.2?lg0.02．即n(lg2?1)?lg2?2，
∴n?lg2?21.6990??2.43，且n?N，所以取n?3．
lg2?10.6990答：每穴至少种3粒，才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%． （2）∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验，
∴每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为P?C3?0.8?0.2??0.384， 答：每穴种3粒，恰好两粒发芽的概率为0.384 22
人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案（2.2.3独立重复实验与二项分布）完美版
