2.2.1 综合法和分析法
问题导学
一、用综合法证明问题 活动与探究1
1．已知a，b＞0，且a＋b＝1，求证：
11??4． ab2．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：
(1)直线EF∥平面PCD； (2)平面BEF⊥平面PAD． 迁移与应用
3322
设a≥b＞0，求证：3a＋2b≥3ab＋2ab．
(1)综合法的证明步骤：①分析条件，选择方向．确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等．②转化条件，组织过程．将条件合理转化，书写出严密的证明过程．
(2)综合法的适用范围：①定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，立体几何中的证明，不等式的证明等问题．②已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件能逐步逼近结论的题型．
二、用分析法证明问题 活动与探究2
当a，b满足什么条件时，a?b＜a?b成立． 迁移与应用 当a＋b＞0时，求证：a?b?222(a＋b)． 2
在分析法证明中，从结论出发的每一个步骤所得到的判断都是结论成立的充分条件，最后一步归结到一个明显成立的条件．因此，从最后一步可以倒推回去，得到结论，但这个倒推过程可以省略．
三、综合法和分析法的综合应用 活动与探究3
求证：当x≥0时，sinx≤x． 迁移与应用
已知a，b，c是不全相等的正数，且0＜x＜1．
求证：logxa?bb?ca?c?logx?logx＜logxa＋logxb＋logxc． 222
实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径．
答案：
课前·预习导学 【预习导引】
1．综合法 分析法
2．已知条件 推理论证 结论 充分条件
an＋12n＋12×2nn预习交流 (1)解：∵an＝2，∴＝n＝n＝2．
an22
由等比数列的定义可知数列{an}为等比数列． (2)证明：要证原不等式成立，
22
只需证(6＋7)≥(22＋5)， 即证242＞240，
由于上式显然成立，因此原不等式成立． 课堂·合作探究 【问题导学】
活动与探究 1．思路分析：解答本题可由已知条件出发，结合基本不等式a＋b≥2ab(a，b＞0)，即可得出结论．
证明：方法一：∵a，b＞0，且a＋b＝1， ∴a＋b≥2ab，
111a＋b1
∴ab≤，∴＋＝＝≥4．
2ababab当且仅当a＝b时，取“＝”号． 方法二：∵a，b是正数，
111
∴a＋b≥2ab＞0，＋≥2＞0，
abab1111
∴(a＋b)(＋)≥4．又a＋b＝1，∴＋≥4．
abab当且仅当a＝b时，取“＝”号．
11a＋ba＋bba方法三：＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2
abababba·＝4．当且仅当a＝b时，取ab“＝”号．
2．思路分析：(1)利用线线平行证明线面平行． (2)利用面面垂直线面垂直面面垂直．
证明：(1)在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，所以EF∥PD． 又因为EF平面PCD，PD平面PCD， 所以直线EF∥平面PCD．
(2)连结BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°， 所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点， 所以BF⊥AD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD， 平面PAD平面ABCD＝AD，
所以BF⊥平面PAD．又因为BF平面BEF， 所以平面BEF⊥平面PAD．
332222
迁移与应用 证明：3a＋2b－(3ab＋2ab)＝3a(a－b)＋2b(b－a)
22
＝(3a－2b)(a－b)．
22
因为a≥b＞0，所以a－b≥0,3a－2b＞0，
22
从而(3a－2b)(a－b)≥0，
3322
即3a＋2b≥3ab＋2ab．
活动与探究2 解：要a－b＜a－b， 只需a＜b＋a－b，
只需a＜b＋(a－b)＋2b(a－b)， 只需2b(a－b)＞0，
只需a＞0，b＞0，a－b＞0，
即a，b要满足的条件为a＞b＞0．
222
迁移与应用 证明：要证a＋b≥(a＋b)，
2只需证(a＋b)≥?
2
22
?2?2
(a＋b)?， ?2?
1222222
即证a＋b≥(a＋b＋2ab)，即证a＋b≥2ab．
222
因为a＋b≥2ab对一切实数恒成立，
222
所以a＋b≥(a＋b)成立．
2
综上所述，不等式得证．
活动与探究3 思路分析：不等式的成立问题，可以转化为函数的最值问题来解决． 证明：要证x≥0时，sinx≤x， 只需证x≥0时，sinx－x≤0即可．
设f(x)＝sinx－x，则即证x≥0时，f(x)≤f(0)． 即证x≥0时，f(x)的最大值小于或等于0．(*)
∵f(x)＝sinx－x，∴f′(x)＝cos x－1，∴当x≥0时，f′(x)≤0，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．
∴当x≥0时，f(x)max＝f(0)＝0，∴(*)式成立．∴原不等式成立． 迁移与应用 证明：要证明
a＋bb＋ca＋clogx＋logx＋logx＜logxa＋logxb＋logxc，
222
?a＋b·b＋c·a＋c?＜log(abc)，
只需要证明logx??x22??2
a＋bb＋ca＋c由已知0＜x＜1，只需证明··＞abc．
222
a＋b由公式≥ab＞0，
2
b＋c≥bc＞0， 2a＋c≥ac＞0． 2
又∵a，b，c是不全相等的正数，
高中数学 第二章2.2.1 综合法和分析法讲解与例题 新人教A版选修1-2
