典型例题
1、过河问题
例1．小船在200m的河中横渡，水流速度为2m/s，船在静水中的航速是4m/s，求： 1．小船怎样过河时间最短，最短时间是多少？ 2．小船怎样过河位移最小，最小位移为多少？
解： 如右图所示，若用v1表示水速，v2表示船速，则：
①过河时间仅由v2的垂直于岸的分量v⊥决定，即t?d，与v1无关，所以当v2⊥岸时，
v?
v2 v1 过河所用时间最短，最短时间为t?d也与v1无关。 v2②过河路程由实际运动轨迹的方向决定，当v1＜v2时，最短路程为d ； 2、连带运动问题
指物拉绳（杆）或绳（杆）拉物问题。由于高中研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长和压缩的，即绳或杆的长度不会改变，所以解题原则是：把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量，根据沿绳（杆）方向的分速度大小相同求解。
例2 如图所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，求v1∶v2
解析：甲、乙沿绳的速度分别为v1和v2cosα，两者应该相等，所以有v1∶v2=cosα∶1 3、平抛运动
例3平抛小球的闪光照片如图。已知方格边长a和闪光照相的频闪
A v1 甲 v2 v1 α 乙 B C D E 1
间隔T，求：v0、g、vc
解析：水平方向：v0?a2a 竖直方向：?s?gT2,?g?2 TT先求C点的水平分速度vx和竖直分速度vy，再求合速度vC：
vx?v0?2a5aa,vy?,?vc?T2T2T41
（2）临界问题
典型例题是在排球运动中，为了使从某一位置和某一高度水平扣出的球既不触网、又不出界，扣球速度的取值范围应是多少？
例4 已知网高H，半场长L，扣球点高h，扣球点离网水平距离s、求：水平扣球速度v的取值范围。
解析：假设运动员用速度vmax扣球时，球刚好不会出界，用速度vmin扣球时，球刚好不触网，从图中数量关系可得：
vmax??L?s?/2hg； ?(L?s)g2hv vmin?s/2(h?H)g ?sg2(h?H)h s H L 实际扣球速度应在这两个值之间。 4、圆周运动
例5如图所示装置中，三个轮的半径分别为r、2r、4r，b点到圆心的距离为r，求图中a、b、c、d各点的线速度之比、角速度之比、加速度之比。
解析：va= vc，而vb∶vc∶vd =1∶2∶4，所以va∶ vb∶vc∶
2
c b d a vd =2∶1∶2∶4；ωa∶ωb=2∶1，而ωb=ωc=ωd ，所以ωa∶ωb∶ωc∶ωd =2∶1∶1∶1；再利用a=vω，可得aa∶ab∶ac∶ad=4∶1∶2∶4
点评：凡是直接用皮带传动（包括链条传动、摩擦传动）的两个轮子，两轮边缘上各点的线速度大小相等；凡是同一个轮轴上（各个轮都绕同一根轴同步转动）的各点角速度相等（轴上的点除外）。
例6 小球在半径为R的光滑半球内做水平面内的匀速圆周运动，试分析图中的θ（小球与半球球心连线跟竖直方向的夹角）与线速度v、周期T的关系。（小球的半径远小于R。）
解析：小球做匀速圆周运动的圆心在和小球等高的水平面上（不在半球的球心），向心力
F是重力G和支持力N的合力，所以重力和支持力的合力方向必然水平。如图所示有：
mv2 mgtan???mRsin??2，
Rsin?由此可得：v?gRtan?sin?,T?2?Rcos??2?h，
ggN θ F （式中h为小球轨道平面到球心的高度）。
可见，θ越大（即轨迹所在平面越高），v越大，T越小。
点评：本题的分析方法和结论同样适用于圆锥摆、火车转弯、飞机在水平面内做匀速圆周飞行等在水平面内的匀速圆周运动的问题。共同点是由重力和弹力的合力提供向心力，向心力方向水平。
例7：长l?0.5m，质量可忽略不计的杆，其下端固定于O点，上端连接着质量m?2kg的小球A，A绕O点做圆周运动，如图所示，在A点通过最高点时，求在下面两种情况下，杆的受力：
⑴ A的速率为1m/s; ⑵ A的速率为4m/s；
3
F N mg O 图11
解析：对A点进行受力分析，假设小球受到向上的支持力，如图所示，则有
v2F向?mg?FN则FN?mg?m分别带入数字则有
l⑴FN =16N
⑵FN = -44N负号表示小球受力方向与原假设方向相反
例8 质量为M的小球在竖直面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点不脱离轨道的临界速度是V，当小球以3V速度经过最高点时，球对轨道的压力大小是多少？
解析：对A点进行受力分析，小球受到向下的压力重力，其合力为向心力，有
F向?mg?FN
v2则FN?m?mg
l解得FN = 8mg
例9 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围．（取g=10m/s2）
解析：要使B静止，A必须相对于转盘静止——具有与转盘相同的角速度．A需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成．角速度取最大值时，A有离心趋势，静摩擦力指向圆心O；角速度取最小值时，A有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心O．
对于B，T=mg 对于A，T?f?Mr?12
2T?f?Mr?2
?1?6.5rad/s ?2?2.9rad/s
4
所以 2.9 rad/s ???6.5rad/s 练习：
1．在质量为M的电动机飞轮上，固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过
M?mM?m?g ?g B．
mRmRM?mMg?gD． mRmRA．
C．
万有引力及天体运动：
例10 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，万有引力恒量为G，可以用下式估计地球的平均密度是 （ ）
3gg3gg22A．4?RG B．4?RG C．RG D．RG
解析 在地球表面的物体所受的重力为mg，在不考虑地球自转的影响时即等于它受到
GMmR2的地球的引力，即：
密度公式
???mg ①
M4V??R3V ② 地球体积 3 ③
由①②③式解得
??3g4?RG，选项A正确。
点评 本题用到了“平均密度”这个概念，它表示把一个多种物质混合而成的物体看成
??MV求其“密度”。
是由“同种物质”组成的，用
例11 “神舟”五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37×103km，地面处的重力加速度
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高一物理必修2典型题型
