2
,,bacb4?b?,,,x=?2. 当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标
为,24aa,,a<02a
bbbx?x=?当时,随的增大而增大,当时,随的增大而减小,当yyxx2a2a2a
2
4acb?
时,有最大值,y4a
七、二次函数解析式的表示方法
2
yaxbxc=++abca,01. 一般式,,,,为常数,,, yaxhk=?+()ahka,02. 顶点式,,,,为常数,,,
2
yaxxxx=??()()xxa,0x12123. 两根式,,,,是抛物线与轴两交点的横坐标,.
注意,任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次
2
xbac?40,函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物
线的解析式才可以用交点式表示,二次函数解析式的这三种形式可以互 化.
八、二次函数的图象与各项系数之间的关系
’. ..
a1. 二次项系数
2
yaxbxc=++aa,0
二次函数中,作为二次项系数,显然,
a>0aa ? 当时,抛物线开口向上,的值越大,开口越小,反之的值越小,
开口越大,
a<0aa
? 当时,抛物线开口向下,的值越小,开口越小,反之的值越大,
开口越大,
aa总结起来,决定了抛物线开口的大小和方向,的正负决定开口方
向,a的大小决定开口的大小,
b2. 一次项系数
ab 在二次项系数确定的前提下,决定了抛物线的对称轴, a>0 ? 在的前提下, b?<0b?=0b?>0
当时,,即抛物线的对称轴在轴左侧,yb>02a 当时,,即抛物线的对称轴就是轴,yb=02a 当时,,即抛物线对称轴在轴的右侧,yb<02a
a<0? 在的前提下,结论刚好与上述相反,即 b?>0b?=0b?<0ab..
当时,,即抛物线的对称轴在轴右侧,yb>02a 当时,,即抛物线的对称轴就是轴,yb=02a 当时,,即抛物线对称轴在轴的左侧,yb<02a
总结起来,在确定的前提下,决定了抛物线对称轴的位置,’.
bx=?的符号的判定,对称轴在轴左边则,在轴的右侧则yyabab>02a
ab<0,概括的说就是“左同右异”
总结,
c3. 常数项
yyc>0x ? 当时,抛物线与轴的交点在轴上方,即抛物线与轴交点的
纵坐标为正,
yyc=0 ? 当时,抛物线与轴的交点为坐标原点,即抛物线与轴交点
的纵坐
0
标为,
yyc<0x ? 当时,抛物线与轴的交点在轴下方,即抛物线与轴交点的
纵坐标为负,
yc 总结起来,决定了抛物线与轴交点的位置,
abc,, 总之,只要都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的,
二次函数解析式的确定,
根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法,用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便,一般来说,有如下几种情况, 1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式,
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大,小,值,一般选用顶点式,
x3. 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式,
4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式, 九、二次函数图象的对称
’. ..
二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达
x1. 关于轴对称
22
yaxbxc=++yaxbxc=???x 关于轴对称后,得到的解析式是, yaxhk=?+yaxhk=???()()x22
关于轴对称后,得到的解析式是,
y2. 关于轴对称
22
yaxbxc=++yyaxbxc=?+ 关于轴对称后,得到的解析式是, yaxhk=?+yaxhk=++()()y22
关于轴对称后,得到的解析式是,
3. 关于原点对称
22
yaxbxc=++yaxbxc=?+? 关于原点对称后,得到的解析式是, yaxhk=?+yaxhk=?+?()() 关于原点对称后,得到的解析式是,
22
4. 180? 关于顶点对称,即,抛物线绕顶点旋转,
2
b2yaxbxc=??+?2 关于顶点对称后,得到的解析式是,yaxbxc=++2a yaxhk=?+yaxhk=??+()()关于顶点对称后,得到的解析式是,
22
mn,()5. 关于点对称
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yaxhk=?+mn,yaxhmnk=?+?+?22()()()关于点对称后,得到的解析式是
根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变
a化,因此永远不变,求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据
题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线,或表达式已知的抛物线,的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式,
十、二次函数与一元二次方程,
x1. 二次函数与一元二次方程的关系,二次函数与轴交点情况,,
22
yaxbxc=++y=0axbxc++=0
一元二次方程是二次函数当函数值时的特
殊情况.’.
..
x2
图象与轴的交点个数,
AxBx,,,00()()()xx,xx,12?=?>bac40x1212? 当时,图象与轴交于两点,其中的 axbxca++=00,()是一元二次方程的两根,这两点间的距离 bac?4ABxx=?=. 21a
2
2
?=0x? 当时,图象与轴只有一个交点, ?<0x.? 当时,图象与轴没有交点
二次函数知识点总结及中考题型总结
