1?4??? ?1?TI?1?1??2?TI??1?4??? ?2?TI?1?1??2?TI??由（6－8）式可知，PID控制器可使系统的型别提高一级，并且还引入两个负实零点。
与PI控制器相比，不但保留了改善系统稳态性能的特点，还多提供一个负实零点，在提高系统动态性能上更加优越。因而，PID控制器在控制系统中得到了广泛的应用。
6．3 串联超前校正
本节首先介绍串联超前校正的特点，然后介绍采用频率响应法确定超前校正参数的方法。
6．3．1 超前校正网络
超前校正就是利用超前校正环节引入正的相移，增加系统的相位裕度，从而提高系统的动态性能。常用的超前校正环节有PD控制器和带惯性的PD控制器。
PD控制器的传递函数为
Gc?KP(1??s)
(6－9)
?为微分时间常数。KP为比例系数，其中，
当KP?1时，PD控制器的频率相应特性如图6－11所示。可见，当?由0变到??时，幅频特性由0dB变到??，而相频特性由0°变到90°。显然，PD控制器是超前校正元件。从相频特性可以看出，采用PD控制器可以为控制系统引入最大至90°的超前相移，然而从幅频特性可以看出，采用PD控制器会增加控制系统的幅频特性高频段斜率，不利于抑制噪声。因而，在超前校正中，带惯性的PD控制器比PD控制器更常用。
带惯性的PD控制器的传递函数为
dB 20lgGc 0 90 ??20dB/dec
? 1/? ?Gc 45? 0? ? 1/? 图6－11 PD控制器的频率响应
Gc?若令??aT1??s(??T)
1?Ts （6－10）
(a?1)，则带惯性的PD控制器的频率响应为
Gc(j?)?其相频特性为
1?jaT?1?jT?(a?1)
（6－11）
?Gc(j?)??(?)?tg?1aT??tg?1T??tg?1dB 20lgGc 20lga aT??T?
1?aT2?2（6－12）
10lga ?20dB/dec 0 ?Gc ? 1/? ?m 1/T 90? ?m 0? ? 1/? ?m 1/T 图6－12 带惯性的PD控制器的频率响应
带惯性的PD控制器的频率响应如图6－12所示，结合（6－12）式可以看出，当?由0增加到??时，?m会在?m处出现极值，由d?(?)/d??0可以求得
?m?1aT （6－13）
?m??Gc(j?)?tg?1a?12a?sin?1a?1 a?1 （6－14）
由（6－14）式可以看出，?m的值随着a值的增大而增大，图6－13为在不同a值的情况下，带惯性的PD控制器的相频特性。由（6－14）式可以计算出不同的a值所对应的?m的值，如表6－1所示，图6－14则以曲线的方式表示出了a与?m之间的关系。从表6－1和图6－14可以看出，当a的取值介于5～20之间的时候，?m的取值介于41. 8°～64.8°
?Gc 80? 60? 40? 20? 0? 0.01
30 10 5 3 T?
1.0
10
0.1
图6－13 带惯性的PD控制器的相频特性
之间。而当a较小时，?m值过小；a较大时，?m随a增大的变化较小。故通常在超前校正中取a值在5～20的范围内。
表6－1 ?m－a关系表
a 3 30°
5 8 10 55° 15 61° 20 30 40 50 74° 100 ? ?m 41. 8° 51° 64.8° 69.3° 72° 78.6° 90°
?m 90? 45? 0? 1
10 100 1000
a 图6－14
?m－a关系曲线
将（6－13）式的结果代入带惯性的PD控制器的幅频特性20lgGc(j?)，得到
20lgGc(j?m)?10lga（dB）
（6－15）
?带惯性的PD控制器所能提供的最大超前相移?m?90，与PD控制器相比较小，但由
于引入了一个惯性，带惯性的PD控制器不会提高控制系统幅频特性高频段的斜率，在抑制系统高频噪声的能力上优于PD控制器。
6．3．2 基于频率响应法的串联超前校正
基于频率响应的校正方法是一种简便的校正方法，它是通过引入校正装置改变控制系统的开环频率特性，使系统达到要求的性能指标。控制系统的开环频率特性的形状反应了系统的性能指标。通常，开环频率特性的低频段反应了闭环系统的稳态性能；中频段反应了闭环系统的动态性能；高频段反应了闭环系统的阶次和抑制噪声的能力。基于频率响应校正的目标就是使校正后的系统的频率特性低频段具有足够的斜率和增益，以满足稳态性能指标的要求；频率特性的中频段以－20dB/dec穿越0dB线并具有足够的宽度，以满足动态性能指标的要求；高频段具有足够的斜率以满足抑制噪声的要求。
超前校正可以为控制系统引入超前相移，通常采用带惯性的PD控制器进行超前校正。由图6－12可以看出，带惯性的PD控制器在??1/?时的幅频特性为0dB，因此它不会改变待校正系统的低频段特性。而在??1/T时的幅频特性斜率为0，因此它不会改变待校正系统高频段斜率。当1/????1/T时，带惯性的PD控制器斜率为20dB/dec，引入控制系统后，将提高控制系统在1/?~1/T之间的斜率，改善系统的动态性能。从相频特性看，带惯性的PD控制器在1/?~1/T之间引入正的相移，能够提高系统的相位裕度。在?m处，引入的正的相移达到最大值，因而采用带惯性的PD控制器进行超前校正，通常将校正后系统的穿越频率选在?m处。具体步骤如下：
1) 绘制系统固有部分的开环幅频特性，根据稳态性能指标确定开环增益K。 2) 根据确定好的开环增益K，计算系统固有部分的相位裕度?和穿越频率
?c。
3) 根据动态性能指标的要求，确定系统校正后的相位裕度?和穿越频率4) 根据?和
???c。
????c???c，计算超前网络参数a和T。通常选择m，充分利用网络的超前特??c为校正后系统的穿越频率，即校正后系统在该频率点的幅频特性为0dB，
性。而因为故有
?)?10lga?0 20lgG0(j?c
（6－16）
其中，G0为系统固有部分开环传递函数，由上式可求出a值。然后根据式（6－13）可求出
T?1?ma （6－17）
?，?，5) 验证校正后的相位裕度??是否满足要求。若不满足要求，则重新选择?c通常增大?c重复步骤4）和5）直至满足要求。
例 6－2 设有一单位负反馈系统固有部分的传递函数为
G0?K
s(0.5s?1)?1要求校正后系统的性能指标为：开环放大系数K?20s，相位裕度???50?，设计超前校正网络。
解
1) 根据开环放大系数的要求，系统固有部分的传递函数为：
G0?
20
s(0.5s?1)绘制其幅频特性图，如图6－15中ABC段所示。由图可知20lgG0的幅值穿越频率：
?c?6.3rad/s
校正前系统的相位裕度：
??180??90??tg?1(0.5?6.3)?18?
20lgG －20 A 0dB 2 B D 20dB/dec 20lgGc?c ?2 E －40 ? ?1 －20 20lgGe －40 F C 20lgG0 图6－15 例6－2的Bode图
2) 根据系统性能指标要求相位裕度???50?，采用带惯性的PD超前校正网络
1aTs?1?1Gc(s)??1Ts?1s?1
?2s?13) 求超前校正网络参数。通常校正后的系统Bode图以－20dB/dec穿越0dB线并具有足够
的宽度，就可以满足上述的相位裕度的要求。在2～6.3之间取?1?4rad/s，对应系统Bode图中的D点，过D点做－20dB/dec的直线，交0dB线于??10，可知校正后
??10。由带惯性环节的PD控制器的特性可知，令?c???m，可得系统的穿越频率?c到
?2/?1?102/4?25rad/s ?2??c故超前校正网络参数为
Gc(s)?校正后系统开还传递函数为
0.25s?1
0.04s?1Ge(s)?20(0.25s?1)
s(0.5s?1)(0.04s?1)4) 检验。系统开环放大系数为20，，满足要求。相位裕度为
???180??90??tg?1(0.25?10)?tg?1(0.5?10)?tg?1(0.05?10)?57.7?
控制系统的综合与校正
