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?'y(y,z)?0,于是?(y,z)??(z),从而v??sinxy??(z).
''再对z求导，得vz??(z),与第三个方程比较，知?(z)??sinz，故?(z)?cosz?C.
所以v?cosz?sinxy?C.
（2）记P?2xcosy?ysinx,Q?2ycosx?xsiny,R?0. 则
22i?rot A??xPj??yQk??0i?0j?[(?2ysinx?2xsiny)?(?2xsiny?2ysinx)]k?0?zR所以A为有势场。下面用两种方法求势函数v：
1公式法：v???P(x,0,0)dx??Q(x,y,0)dy??R(x,y,z)dz?C
0000xyz20不定积分法：因势函数v满足A??grad v，即有
将第一个方程对x积分，得v??xcosy?ycosx??(y,z),
对y求导，得vy?xsiny?2ycosx??y(y,z)，与第二个方程比较，知
2'22?'y(y,z)?0,于是?(y,z)??(z),从而v??x2cosy?y2cos??(z).
''再对z求导，得vz??(z),与第三个方程比较，知?(z)?0，故?(z)?C.
所以v??xcosy?ycosx?C.
2.下列矢量场A是否保守场？若是，计算曲线积分Adl：
l
22?
（1）A?(6xy?z)i?(3x?z)j?(3xz?y)k，l的起点为A(4,0,1),终点为
222B(2,1,?1);
（2）A?2xzi?2yzj?(x?2yz?1)k，l的起点为A(3,0,1),终点为B(5,?1,3).
222?6y?解：（1）DA??6x?3z2?3z2???1?,有?16xz??6x0rot A?[(?1)?(?1)]i?(3z2?3z2)j?(6x?6x)k?0,故A为保守场。因此，存在
A?dl的原函数u。按公式
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??x00dx??3xdy??(3xz2?y)dz?3x2y?xz3?yz,于是
00y2z23Adl?(3xy?xz?yz)?lB(2,1,?1)A(4,0,1)?7。
02x??2z??2（2）DA??02z4yz?,有rot A?(4yz?4yz)i?(2x?2x)j?0k?2x4yz2y2???u。按公式 守场。因此，存在A?dl的原函数??0,故A为保
?x00dx??0dy??(x2?2y2z?1)dz?x2z?y2z2?z,于是
00yz?Adl?(xl2z?yz?z)22B(5,?1,3)A(3,0,1)?73.。
3.求下列全微分的原函数u：
（1）du?(x?2yz)dx?(y?2xz)dy?(z?2xy)dz; （2）du?(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy. 解：由公式u?（1）u? ?（2）u?2223222?x0P(x,0,0)dx??Q(x,y,0)dy??R(x,y,z)dz?C
00yz00yz?x0x2dx??y2dy??(z2?2xy)dz?C
13x3?213y3?y1313?2xyz?C?(?z33xy3?z)?2xyz?C；
3?x03xdx??(6x2y?4y3)dy?C?x3?3x2y2?y4?C。
09.证明矢量场A?(2x?y)i?(4y?x?2z)j?(2y?6z)k为调和场，并求其调和函数。
?210???2?，有解：DA??14?02?6???div A?2?4-6?0,rot A?(2-2)i?(0?0)j?(1?1)k?0故A为调和场。
其调和函数u由公式u?2,2?3x0P(x,0,0)dx??Q(x,y,0)dy??R(x,y,z)dz?C
003yz10.已知u?3xz?yz?4xy?2x?3y?5,求?u.【提示：?u?div(grad u)】 解：grad u?(6xz?12xy?2)i?(?2yz?4x?3)j?(3x?3yz)k,则
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13.试证矢量场A??2yi?2xj为平面调和场，并且： （1）求出场的力函数u和势函数v； （2）画出场的力线和等势线的示意图。 证：记P??2y,Q??2x,则有div A??P?Q??0?0?0, ?x?yrot A?(?Q?P-)k?0k?0,故A为平面调和场。
?x?y（1）由公式，并取其中(x0,y0)?(0,0)，则 势函数v??力函数u??xx0P(x,0)dx??Q(x,y)dy?C
0y?0?Q(x,0)dx??P(x,y)dy?C0
02y（2）分别令u与v等于常数，就得到 力线方程：x?y?C1 ，
等势线方程：xy?C2 二者均为双曲线族，但对称轴相差
222?角。如上图所示。 414.已知平面调和场的力函数u?x?y?xy ，求场的势函数v及场矢量A. 解：力函数u与势函数v之间满足以下关系：
u?v,uxyy??vx
由
vy?ux?2x?y,有v??(2x?y)dy?2xy?12y??(x), 2由此
v''?(x)??x, ，又与前式相比可知???2y?x,?2y??(x)vuxyx所以?(x)??121x?C,故势函数v?2xy?(y2?x2)?C. 22于是。场矢量A??grad v?(x?2y)i?(2x?y)j. 习题 八
2． 计算下列曲线坐标系中的拉梅系数。
（1） 曲线坐标(?,?,z)，它与直角坐标(x,y,z)的关系是：
x?ach?cos?,y?ash?sin?,z?z(a?0);
（2）曲线坐标(?,?,z)，它与直角坐标(x,y,z)的关系是：
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x?a?cos?,y?b?sin?,z?z(a,b?0,a?b).
解：（1）因曲线坐标系(?,?,z)是正交的，根据x?ach?cos?,y?ash?sin?,z?z(a?0) 有dx?ash?cos?d??ach?sin?d?,
dy?ach?sin?d??ash?cos?d?,dz?dz.于是
?a(ch??cos?)(d??d?)?dz，故拉梅系数为：
222222H??H??ach2??cos2?(Hz?1)，（或）?ash2??sin2?。
（2）因曲线坐标系(?,?,z)不是正交的，故不能用上面的方法来求。 根据x?a?cos?,y?b?sin?,z?z,按定义有
Hz2?(?x2?y?z)?()2?()2?1,由此得拉梅系数为： ?z?z?z14文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.
矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社
