2.2椭圆
课时分配:
1. 第一课 椭圆及其标准方程
1个课时
2. 第二课椭圆的简单几何性质 1个课时
2.2.1椭圆及其标准方程
【教材分析】
圆锥曲线被安排在第二章中，以“圆锥曲线与方程”的标题出现，其包含曲线与方程、椭圆、双曲线、抛物线四部分内容。本节是整个解析几何部分的重要基础知识。椭圆的定义与初中时学生学习的圆的定义具有相通之处，就是“点动成线”的原理。通过学习，让学生理解当点运动的规则（遵循的几何关系）发生变化的时候，则画出的曲线的形状也会不同。高中阶段，在《直线和圆的方程》的学习过程中，学生对坐标法（解析法）思想有了一定程度的认识；在“曲线与方程”和“方程与曲线”的概念中，学生进一步明确了坐标法及其研究曲线的方程的一般步骤。从本节课开始，又将研究曲线的方法拓展到椭圆，又是继续学习椭圆几何性质的基础，同时还为后面学习双曲线和抛物线作好研究方法和研究思想的准备。它的学习方法对整个这一章具有导向和引领作用，所以椭圆是学生学习解析几何由浅入深的一个台阶，它在整章中具有承前启后的作用。
【教学目标】
知识与技能目标: 1．准确理解椭圆的定义，明确焦点、焦距的概念，掌握椭圆的标准方程及其推导过程；
2．根据条件确定椭圆的标准方程； 过程与方法目标: 1．通过引导学生亲自动手尝试画图、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义；在探索椭圆标准方程的过程中，培养学生观察、辨析、归纳和抽象概括问题的能力.
2． 提高运用坐标法解决几何问题的能力和运算求解和数据处理的能力。 情感态度与价值观目标:通过提炼归纳椭圆的定义的过程，让学生学会将问题抽象成数学问题，并透过运动的现象把握事物的本质； 通过经历椭圆方程的化简，增强学生战胜困难的意志品质并体会数学的简洁美、对称美。通过讨论椭圆方程推导的过程中养成学生扎实严谨的科学态度。 教学重点和难点
1.重点：体会椭圆的形成过程，感受求曲线方程的基本方法，掌握椭圆的标准方程及其推导方法。
2.难点：椭圆标准方程的推导（尤其是遇到的根式化简的过程与方法）
法与学法
（一）教法
为了使学生更主动地参与到课堂教学中，体现以学生为主体的探究性学习和因材施教的原则，故采用自主探究法。按照“创设情境——自主探究——建立模型——拓展应用”的模式来组织教学。让学生既动手又动脑，积极的参与到课堂的教学中。
（二）学法
在本教学过程中，让学生经历椭圆图形的形成过程、定义的归纳概括过程、方程的推导化简过程，主动地获取知识。让动手实践、独立思考、合作交流成为学生学习数学的重要方式。
（三）课前准备
1.学生准备：一支铅笔、两个图钉、一根细绳、一张硬纸板。 2.教师准备：用几何画板制作的相关课件等。
【学前准备】多媒体，预习例题
教学课程 第一课 教学环节 导案/学案 师生活动/随堂测试 学生提问备注 “我们知道天体运行的轨迹是椭圆，换句话说，如果我们把天体抽象的看成一个点，那么这个点运动后就画出（一）创设了一个椭圆椭圆究竟是情境，复习怎么画出来的？这个点导入 （5分钟） 在运动过程中必须遵循怎样的规则才可以是椭圆呢？它的方程又是怎样的呢？学习了本节课的内容，就可以解决这个问题。” 学生拿出事先准（二）动手提问：“如果不借助圆
备好的学具，动手实实践，归纳规如何画出圆的图形践（小组互助协作）。 概念 类比画圆的过程，看（25分钟） 的？” “你能根据画圆此处渗透和引导能否画出椭圆，并给此处渗透将实际问题转换为数学问题的方法之一 --抽象思维。 的过程给圆下定义吗？予指导。 提出问题：“在画图你能回忆起初中的学习的过程中，哪些量发中是如何对圆进行定义生了变化，哪些量没有变？有定点吗？有的？其中你有注意概念定长吗？动点遵循的中的“定点”、“定长”规则又是什么？ 让学生根据自己这些字眼吗？它们是由的实验（小组观察并什么抽象而来的？请你讨论），学生代表回答，（若回答不完整，根据课件中的动画来体请其他小组的学生代会一下定点、定长和动表补充）：“两定点间的距离没变，绳子点。它们给你的启示是的长度没变，点在运动。” 什么? 继续提问：“你们能根据刚才画椭圆的过程，类比圆的定义，归纳概括出椭圆的定义吗？ 出点动成线的思想，我们只要阐述清楚动点运动的规则就可以了（根据事物的现象挖掘出本质） 椭圆的定义： 平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点，F1、F2间的距离叫做椭圆的焦距。 学生提出：“为何‘常数’要大于两定点间的距离呢？等于、小于又如何呢？” 椭圆有方程吗?如何推导椭圆的标准方程呢？ 2.写出动点M满足的集合 这里我启发学生根据椭圆的定义，写出动三.巩固练习 点M满足的集合，即： P＝｛M |│MF1│+（20分钟） │MF2│ =2a｝ 如果学生有困难，可以安排进行小组讨论交流。 3.坐标化 引导学生在设点的基础上,将前面得到的让学生进一步运用研究直线与圆的方程的方法——坐标法，去推导椭圆的方程。 请学生回顾，并在本环节就按如下几个步骤进行解决问题： 思考：当椭圆的焦点在y轴上时,它的标准方程是怎样的呢? 学生经过观察思考会发现，只要交换坐标轴就可以了，从而得到了焦点在Y轴上的建立直角坐标系，设出动点的坐标 我启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系。学生可能会有如下几种建系方案： 方案1：以定点F1为原点，两定点的连线为关系式用坐标表示出来。这里学生不会有太大的困难,绝大多数学生都能得到方程: 椭圆的标准方程：X轴； 方案2：以y2x2?2?1(a?b?0)定点F2为原点，2ab两定点的连线为 椭圆的标X轴； 方案3：以准方程⑵ 它表示:① 椭圆两定点的连线为移项再平方X轴，其垂直平分的焦点在y轴 2点2线为Y轴； ② )焦(x?c)2?y2?4a2?4a(x?c)2 ?y2?(x?c?y方案4：以是F1（0，-c）、 两定点的连线为F2（0，c） 即: Y轴，其垂直平分 ③ 线为X轴。 a2?cx?a(x?c)2?y2a2?c2?b2 两边同时平方, 得(a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2 ∵a?c?0，∴a2?c2?0a2?c2?b2 则，令：b2x2?a2x2?a2b2 两边同时除以a2b2, 得到 x2y2?2?1(a?b?0)2ab 圆的标准方程⑴ 它表示：① 椭圆的焦点在x轴上 ② 焦点坐标为F1（-c，0）、F2（c，0） ③ a2?c2?b2 小结：这样用坐标法推导出了椭圆的标准方程，也是求曲线方程四．小结 谈收获 的一般方法，总结步骤为：1、建系设点2、写出动点满足的集合3、列式4、化简 完成课后习题布置作业：课本42页 2题及优化设计基础巩固部 分。 1.练习：判断下面的方程是否是椭圆的标准方程。 x2y2x2y2x2y2(1)??1 (2)??1 (3)??1
323332(4)4x2?9y2?36 2.快速反应： x2y2(1)2?2?132x2y2(4)??1 49 x2y2(2)??132 x2y2(3)2?2?1 34 则a=___,b=____焦点在_____轴上。 设计意图：考察学生对方程特征的整体认识和把握，进一步将五.布置作业 方程与图形紧密结合起来。 1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4, b=1, 焦点在x轴上 （2）a=5, c=1, 焦点在y轴上 x2y2x22?y?1 （2）??1 解：（1）1625242.已知椭圆的两个焦点的坐标分别是(-2，0)(2，0),并且经(53,?)22 ,求它的标准方程. x2y2??1 解： （待定系数法和定义法求解） 106点评：求椭圆的标准方程的方法 （1）定位：焦点在x轴上，或是y轴上，确定方程形式 22222b和ab?a?c（2）定量：根据关系式确定
高中数学选修2-1 第二章 第二节《2.2椭圆》全套教案
