2017年北京大学博雅计划测试
【1】D
a=25,b=25,c=352时，n可取4，下面我们将说明n不可能大于4：
若n≥5，先考虑5n|abc：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc不可能均为5的倍数。不妨假设5不整除c，注意到53=125＜402＜625＜54，，所以a当中5的幂次至多是3，于是a,b均必须为5的倍数。
若53||a,52||b，设a=125a1,b=25b1，则a1+b1≤3，故ab中2的幂次至多是1，于是根据2n|abc，推出24|c。在方程a+b+c=402两端模4，得到a1+b1≡2(mod4)，于是 a1=b1=1，c=402-125-125=152，而它并不是24的倍数，矛盾！
若53||a,52||b，设a-125a1,b=25b1，则5a1+b1≤16，于是ab中2的幂次之多是3，从而4|c。在方程a+b+c=402两端模4，得到a1+b1≡2(mod4)，结合5a1+b1≤16，且b1不是5的倍数，枚举得到（a1,b1）仅可能为（2,4）（1,1）（1,9），经过检验均不满足题意，矛盾！
【评析】此题看似简单的素因子分析和讨论，其实严格说明并不简单，许多细节处技巧性都很强。此题属于不好做的数论题。 【2】B
根据sinA=cosB，得到A=B+2或A+B=2（舍）。
再根据A+B+C=π，解得C=2π-2A。为了使B、C角满足题意，得到A- 2∈
（0，π）并且π-2A∈（0，π），结合A∈（0，π），故A∈（，π）即可使得B,C角也满足题意。
最后我们考虑方程sinA=tanC=tan(2π-2A)=cot2A的解：
√23232，0），方程化为2t+2t-2t-1=0。再记f(t)= 2t+2t-2t-1=0，而2
√2√2f’(t)=6t2+4t-2在（?2，0）上恒为负，所以f(t)在（?2，0）上递减。再注意到
√2√2f(0)=-1＜0，f(?2)= 2＞0，于是满足原题的三角形有且仅有一个解。
3
32
π2
34
3
π
π
π
记t=cosA∈（?
【评析】解三角形中较难的问题，关键是可能漏解或者误把不满足题意的解当成正解。事实上，许多同学可能并没有发现此题的f(t)应当是在（?而非（-1,0），虽然并不影响最后的结论。
√2，0）上有解， 2
【3】A
我们对前三个选项逐一验证即可。
A选项：假设△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，如左下图所示，AD是内角平分线。根据角平分线定理，计算得CD=3，BD=3。利用角平分线长公式，AD=√AB·AC?DB·DC=3=CD，于是∠C=∠CAD=2∠A成立。
同样的方法可以验证BC选项均不正确。 【评析】设计三角形角平分线相关的长度计算问题，以及内角为两倍的证明技巧，都是初中平面几何竞赛的常见内容。 【4】C
利用积化和差降次，（1+cos7）（1+cos7）（1+cos7）
=1+cos7+ cos7+cos7+ cos7 cos7+ cos7 cos7+ cos7 cos7+ cos7 cos7 cos7 =1+cos+ cos+cos+ cos+ cos+ cos+ cos cos cos =1+ cos7 cos7 cos7
=4?4（cos7+ cos7+ cos7）
利用等差角求和公式，cos7+ cos7+ cos7
2π
4π
6π
3
1
2π
4π
6π
π
3π
5π
π7
3π7
5π7
2π7
4π7
6π7
π7
3π7
5π7
π
3π
5π
π
3π
π
5π
3π
5π
π
3π
5π
π
3π
5π
1
10
8
10
sin7?sin7+sin7?sin7+sin7?sin7 17==?，故原式值为。 π282sin7
【评析】此题想法并不困难，降次应该是多数同学会想到的第一方法，降次之后的等差角求和公式也是基本的技巧。此题的难点还是在于对于基本技巧的熟练程度。 【5】C
1471013…20142017的数值即1×10a1+4×10a4+7×10a7+…+2014×10a2014+2017×10a2017，其中a1,a4,a7,…,a2014,a2017是对应数字出现的数位数，比如2017出现在原数字的第0位，2014出现在第4位等。
注意到10的方幂除以9的余数一定是1，所以
1471013…20142017=1+4+7+…+2014+2017=673×1009=7（mod9）
3ππ5π3π7π5π
【评析】这类余数计算题在自招当中非常常见，只要习惯了这样的同余分析，难度其实并不大。 【6】A.
(x- y)(y- z)(z- x)为正整数，通分=>xyz|(xy-1)(xz-1)(yz-1)。
而(xy-1)(xz-1)(yz-1)=(xyz)2-xyz(x+y+z)+xy+yz+xz-1，故xyz|( xy+yz+xz-1) 当x=1时，有yz|( xy+yz+xz-1) => yz|y+z-1=>yz≤y+z-1=>y=1，z=1，带入原式不合题意。故x≠1。
于是根据对称性，不妨设1＜x≤y≤z，则0＜k=所以K=1，即xyz=xy+yz+zx-1。 ∴xyz≤3yz-1＜3yz=>x＜3。
x=2，带入xyz= xy+yz+zx-1中得到yz-2(y+z)+1=0，即(y-2)(z-2)=3解y=3，z=5，所以{x,y,z}={2,3,5}，故2x+3y+5z的最大值和最小值分别是38和29，答案A。 【评析】这道题考察的是未知整数在分母处，对整个式子进行放缩的技巧。诸如此类的题目套路也很固定：将未知数设出一个大小关系序列，从最小的数开始估计其上界，最后再来分类讨论。 【7】A.
不妨设△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长为2x，那么乘以各自的半径再除以2，有S△AOB=3x，S△BOC =4x，S△COD =6x。再设|OA|=3p，|OB|=2q，则|OC|=4p，|OD|=3q，
xy+yz+xz?111111113
= ++ - ＜++ ≤， xyzxyzxyzxyz2
1
1
1
，即S△AOD=2。故△DOA的内切圆半径是 2，答案为A。
【评析】此题导向非常明确：通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后，再通过共边定理获得另一个三角形的面积值。较为容易。 【8】C.
9x9
9+95+995+=
=（10-1）（100-5）（1000-5）+···+（102017-5）
-10081=
。故答案为C。
-（1+5×2016）=
【评析】乍一看没什么思路，但是动手演算后容易发现与问题相关的规律。考验考生的计算能力。 【9】A.
令sin2α=x，sin2β=y，则x，y∈【0,1)，tan2α=1?x，tan2β=1?y。
x
y
故=
x+y?2xy
=x+y1?xy
即xy(x+y)=2xy,从而x+y=2(舍)或者xy=0。答案为A。
【评析】重在代数变形的题目。换元后寻找三角函数的规律，很快得到答案。 【10】C.
考虑圆内接五边形P1P2P3P4P5，设Pi对应的复数为zi(1≤i≤5)，所有线段平方和为S，注意到有0≤|z1+z2+z3+z4+z5|=( z1+z2+z3+z4+z5)
，故而S=
当且仅当|z1+z2+z3+z4+z5|=0即P1P2P3P4P5是正五边形时取到等号。
【评析】根据对称性，猜测圆内接正五边形时达到最大值，严格证明需要用到复数来表达，较为复杂。考场上碰到的话计算一下正五边形的值就跳过吧。 【11】A.
S=(a+bc)(b+ac)=(a(a+b+c)+bc) (b(a+b+c)+ac)
=(a+b)2(a+c)(b+c)=(1-c)2(1-b)(1-a)＞100，故a,b＞1或者a,b≤0。 当a,b≤0时，S=4(1-c)2×2(1-b) ×2 (1-a) ≤4[1
12(1?c)+2(1?b)+2(1?a)21
]=4，矛盾。 4
1
=5+≤25，
当a,b＞1时，S= (1-c)2(1-b)(1-a)= (1-c)2(c+ab) ≤c(1-c)2+4(1-c)4，令x=1-c≥4， 则100＜S≤4x4-x3+x2=f(x)，f’ (x)= x3-3 x2+2x＞0，f(5)=
1
225
＜100＜144= f(6)， 4
所以x≥6，c≤-5，当c=-5时，S= (1-c)2(c+ab)=36(ab-5) ≥36(2×4-5)=108。选A。 【评析】和上题类似，此题也应该试验几个值，发现能取到108即可跳过。严格的证明如上述，用到了好几次1的代换、局部调整、均值不等式以及导数求解，难度极大。 【12】A.
易知b＞a，下面证明a＜c＜b.
c2=1+2(sin28°+sin32°) ＜1+sin32°=b2，c2=1+2(sin28°+sin32°) ＞1+sin28°=a2. 答案为A。
【评析】二倍角公式，送分题。 【13】C.
考虑2的幂次。把21个数:1、2放入第一组，把22个数:3、4、5、6放入第二组，把23个数:7、8、9、10、11、12、13、14放入第三组……
那么任取n∈N，如果一个无穷等差数列在2n-2个数中有至少两个数，则这个等差数列的公式不超过2n-2。但接下来2n个数都会是同一组的，而该数列必有数在这2n个数中。矛盾！
稍微把这个2的幂次的分组方法改动一下，如变成3的幂次，4的幂次……分析方法与上述相同。故分组方法有无数种。
【评析】组合数学中间的的极端思想，如果不熟悉这种思考方式的话可能会无从下手。 【14】D.
由正整数的幂次除以另外一个正整数的余数呈周期性变化，发现2017n的个位数字为7、9、3、1周期。故20172017除以10的余数为7。
同理，将选项中的3、5、6带入（2017-n）2017-n中，发现个位数字分别为4、6、1，不符题意。故选D。
【评析】考察数论同余的问题。所用到的这个结论很容易也很重要，需要牢牢掌握！
1
1
北大博雅数学2017答案
