1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)
?x?1?t2,d2y(1) 设? 则=__________. 2dx?y?cost,(2) 由方程
xyz?x2?y2?z2?2所确定的函数z?z(x,y)在点(1,0,?1)处的全微分
x?1y?2z?3x?2y?1z；??L2:??,则过L1且平行于
10?1211dz=__________.
(3) 已知两条直线的方程是L1:L2的平面方程是__________.
(4) 已知当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,则常数a=__________.
123?5 2 0 0???2 1 0 0?,则A的逆阵A?1=__________. (5) 设4阶方阵A???0 0 1 ?2???0 0 1 1??
二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线y?1?e?x221?e?x ( )
(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线
(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数f(x)满足关系式f(x)??2x0?t?f??dt?ln2,则f(x)等于 ( ) ?2? (A) eln2 (B) (C)
xe2xln2
ex?ln2 (D) e2x?ln2
(3) 已知级数
?(?1)n?1?n?1an?2,?a2n?1?5,则级数?an等于 ( )
n?1n?1?? (A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9
(4) 设D是xOy平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,D1是D在第一象限的部分,则
??(xy?cosxsiny)dxdy等于 ( )
D (A) (C)
2??cosxsinydxdy (B) 2??xydxdy
D1D14??(xy?cosxsiny)dxdy (D) 0
D1(5) 设n阶方阵
A、B、C满足关系式ABC?E,其中E是n阶单位阵,则必有 ( )
(A) ACB?E (B) CBA?E (C) BAC?E (D) BCA?E
三、(本题满分15分,每小题5分.)
?(1) 求
x?0lim(cosx)x. ?222(2) 设n是曲面2x?3y?z?6在点P(1,1,1)处的指向外侧的法向量,求函数
6x2?8y2在点P处沿方向n的方向导数. u?z?y2?2z,(3) ???(x?y?z)dV,其中?是由曲线?绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z?4?x?0?22所围成的立体.
四、(本题满分6分) 在过点O(0,0)和的积分
五、(本题满分8分.) 将函数
?A(?,0)的曲线族y?asinx(a?0)中,求一条曲线L,使沿该曲线从O到A?(1?y)dx?(2x?y)dy的值最小.
L3f(x)?2?|x|(?1?x?1)展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数
1的和. ?2nn?1
六、(本题满分7分.)
设函数f(x)在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且3?123f(x)dx?f(0),证明在(0,1)内存在一点c,使
f?(c)?0.
七、(本题满分8分.)
已知?1?(1,0,2,3),?2?(1,1,3,5),?3?(1,?1,a?2,1),?4?(1,2,4,a?8),及
??(1,1,b?3,5).
(1) a、b为何值时,?不能表示成?1、?2、?3、?4的线性组合
(2) a、b为何值时,?有?1、?2、?3、?4的唯一的线性表示式并写出该表示式.
八、(本题满分6分)
设A为n阶正定阵,E是n阶单位阵,证明A?E的行列式大于1.
九、(本题满分8分)
在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点P(x,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ长度的倒数(Q是法线与x轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x轴平行.
十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)
(1) 若随机变量X服从均值为2,方差为?的正态分布,且P2
?2?X?4??0.3,则
P?X?0?=_______.
(2) 随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区
域的面积成正比,则原点和该点的连线与x轴的夹角小于
十一、(本题满分6分)
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
?的概率为_______. 4?2e?(x?2y), x?0,y?0f(x,y)??,
?0, 其他求随机变量Z
?X?2Y的分布函数.
1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析
一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】
sint?tcost
4t3【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即 如果
?x??(t)dy??(t)?, 则 . ??dx?(t)y??(t)?dydydt?sint所以 , ??dxdx2tdt再对x求导,由复合函数求导法则得
d2yddydtd?sint1?()??()? 2dxdtdxdxdt2t2t??2tcost?2sint1sint?tcost. ??234t2t4t2dy
(2)【答案】dx?【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,?1)的含义是z?z(1,0)??1. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得
d(xyz)?d(x2?y2?z2)2x?y?z222?0,
再由全微分四则运算法则得
(xy)dz?(ydx?xdy)z??xdx?ydy?zdzx?y?z222,
令x?1,y?0,z??1,得dy?dx?dz,即dz?dx?2dy. 2(3)【答案】x?3y?z?2?0
【解析】所求平面?过直线L1,因而过L1上的点(1,2,3)；
r因为?过L1平行于L2,于是?平行于L1和L2的方向向量,即?平行于向量l1?(1,0,?1)和向r量l2?(2,1,1),且两向量不共线,于是平面?的方程
x?1y?2z?31201?1?0, 1即x?3y?z?2?0. (4)【答案】?3 21n【解析】因为当x?0时,sinx:x,(1?x)?1:1x, n当x?0时ax1232?0,所以有
1211ax,cosx?1??sin2x:?x2, 322123(1?ax)?1:12ax(1?ax)?12所以 lim?lim3??a.
x?0x?01cosx?13?x22因为当x?0时,(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小,所以?12323a?1,故a??. 32?1?20?0??25?1(5)【答案】00?3?1?00??3?0??0?2?. ?3?1??3?【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.
?1?1?A?1?A0?注意： ????0B???00??0?,?B?1??BA??0????10??AB?1??. 0?对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：A???ab??,则求A的伴随矩阵 cd???ab??d?b?A*??????.
cd?ca????如果
?A?0,这样
?1?ab?1?d?b?1??????A??ca?ad?bc?cd??d?b???. ?ca??
1991年考研数学一试题及完全解析(Word版)
