11x22ln1?y?ln?lnc1，即?1?y2??1?x2??cx2,?c?c12?。由y?1??0得c?1，2221?x??故1?y?2??1?x??x22即为所求。
y??y?0,y(1)?. x2yyycosududx解 原式可化为y??tan??0，令?u，得xu???tanu，即??, 两
xxxsinuxcyc?边积分得 lnsinu??lnx?lnc，即sinu?，sin?，由y(1)?得c?1，故所
xxx2y1求特解为sin?。
xx10．求解xy??xtan11．求解4y???4y??y?0满足y?0??2,y??0??0.
?x1??，故通解为y??C1?C2x?e2，由
21?x21解 特征方程为4??4??1?0，?1,22y?0??2,y??0??0得C1?2,C2?1，故y??2?x?e12．求解y???3y??2y?2e满足y?0??1,y??0???1;
x为所求特解。
解 对应的齐次方程的通解为Y?C1e?C2ex2x，设特解为y?Axe代入原方程得
*xA??2，故原方程通解为y?C1ex?C2e2x?2xex，由y?0??1,y??0???1得
C1?1,C2?0，?y??1?2x?ex。
13．设二阶常系数线性微分方程y????y???y??e的一个特解为y?e定?,?,?，并求该方程的通解. 解 将y?e2xx2x??1?x?ex，试确
??1?x?ex，y??2e2x?ex??1?x?ex，y???4e2x?2ex??1?x?ex，代入
原方程得?4?2????e2x?4?2????0???3?2?????1?????x?ex??ex，故?3?2?????
?1?????0?????3,??2,???1，方程为y???3y??2y??ex，故通解为 y?C1ex?C2e2x?e2x??1?x?ex。
cos??sin?14．计算下列行列式sin?cos?，
cos?解：sin?
?sin?cos??cos2??sin2??1
21
15．计算下列行列式
120210055413262466
3?1215
215解：
120413262?1223?121556622
?30?50??3?50?01a16．证明：
证：
1bb31c?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)c3
a31aa31bb31c311b?a1c?a?(b?a)(c?a)c?00b(b2?a2)c(c2?a2)11b(b?a)c(c?a)
?(b?a)(c?a)110c(c?a)?b(b?a)?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)
?101???2
17．设AX+E=A+X，且A=?020?，求X.
???101?
?201???22
解：由AX+E=A+X，得(A–E)X=A–E，而A–E可逆，故X=A+E=?030?.
???102?18．已知矩阵? 解 因为
?a1??b1??67????0b2???63?，求常数a，b ． a0???????a1??b1??aba?b2??67????? ? ?????2?a??63??a0??0b??ab 所以 a?3,ab?6，得b = 2 ． 19． 将向量?表示成
（1）解：设
?1,?2,?3的线性组合：
?1?(1,1,?1),?2?(1,2,1),?3?(0,0,1),??(1,0,?2)
??k1?1?k2?2?k3?3，按分量展开得到
k1?k2?1???k1?2k2?0??k?k?k??223 ?1
求解得到
k2??1,k1?2,k3?1，即??2?1??2??3
20．问?，?取何值时，齐次方程组
有非零解？
解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故
??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0?x?2?x?x?023?1?11101???1???1?112?10??10?1???1?????(1??)?0
即??0或??1齐次方程组有非零解。 21．设线性方程组
?2x1?x2?x3?1? ??x1?2x2?x3??1
?x?3x?2x?c23?1试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。
解
?2?111???1?21?1????0?53?1?
A???1?21?1???????1?32c???0?53c?1???12?11??? ?0?53?1 ??0c???00?可见，当c = 0时，方程组有解。且
1?10?5?3 A??01?5??000??原方程组的一般解为
3?5?1?? 5?0???
31?x??x31??55 ?（x3是自由未知量）
?x?1?3x23?55?22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：
222f?2x?3x?3x?4x2x3 123（1）
解：对应的矩阵为
2??00?200???A??032?A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)?0?023?023????，
特征值为
?1?2,?2?5,?3?1
??0?1??2?1??222?2?，标准型为f?2y1?5y2?y3
???1?P??0??0??正交矩阵为
0121223．某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内 (1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率.
解：(1) 设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照管的
事件为A1A2A3，因而
P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.8?0.9?0.6=0.568
(2) 以B表示“机床因无人照看而停工”
P(B)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.124
24．设随机变量X的分布密度为f(x)?A1?x2(???x???)
求(1) 常数A； (2) X的分布函数； . 解：
(1) 由性质 即：
?????f(x)dx?1
A?????1?x2dx?A?arctanx???A??1
1 ∴ A=
?11(2) 由(1)知f(x)= 2?1?xxx11 ∴ F(x)=?f(x)dx???dx
?????1?x2111?x ?arctanx???arctanx??
???211 ??arctanx (–∞ 2???25．设二维随机变量（X，Y）在区域0?x?1,y?x内服从均匀分布.求 (1)（X，Y）的联合分布密度； (2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 解：(1)区域0≤x≤1，y≤x的面积A由图如示： 则：A?22 2?10xdx?4/3 ?122?,0?x?1,y?x?3/4,0?x?1,y?x依题意有：f(x,y)??A ???0,其它?0,其它? (2)∵fX(x)??????3?x3x,0?x?1???xdy? f(x,y)dy??42?其它?0,fY(y)??????3?13dx?(1?y2),?1?y?1??y2 f(x,y)dy??44?其它?0,?3?32x,0?x?1??(1?y),?1?y?1∴ fX(x)??2 fY(y)??4 ??其它其它?0,?0,又 ∵ fX(x)?fY(y)?f(x,y)
高等数学考研复习题及答案
