2024年秋高中数学第一章集合与函数概念1-3函数的基本性质1-3-2奇偶性练习新人教A版必修1

奇偶性

A级 基础巩固

一、选择题

1．函数f(x)＝x＋x( ) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数

解析：函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数f(x)是非奇非偶函数． 答案：C

2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( ) A．y＝x C．y＝－x＋1

23

2

B．y＝|x|＋1 D．y＝2x＋1

3

解析：四个选项中的函数的定义域都是R.对于选项A，y＝x是奇函数；对于选项B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C，y＝－x＋1是偶函数，但是它在(0，＋∞)上是减函数；对于选项D，y＝2x＋1是非奇非偶函数．故选B.

答案：B

3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( ) A．奇函数

B．偶函数

2

C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．

又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数． 答案：B

??x＋x，x≥0，4．设函数f(x)＝?且f(x)为偶函数，则g(－2)＝( )

?g（x），x＜0，?

2

A．6B．－6 C．2D．－2

解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝g(－2)＝f(2)＝2＋2＝6. 答案：A

5．已知f(x)为R上的奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0，2)时，f(x)＝2x，则f(7)＝( )

A．－2 B．2 C．－98 D．98

解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以f(7)＝f(3＋4)＝f(3)＝f(－1＋4)＝f(－1)．又因为

3

2

f(－x)＝－f(x)，所以f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，所以f(7)＝－2.

答案：A 二、填空题

6.偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图象如图，则函数f(x)的增区间为______________．

解析：偶函数的图象关于y轴对称，可知函数f(x)的增区间为[－1，0]∪[1，＋∞)． 答案：[－1，0]∪[1，＋∞)

7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________． 解析：因为f(x)为R上的奇函数， 所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2， 所以f(0)＋f(1)＝0－2＝－2. 答案：－2

8．函数g(x)为奇函数，f(x)＝g(x)＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝________． 解析：因为g(x)为奇函数，所以g(－a)＝－g(a)．

??f（a）＝g（a）＋1＝2，由?得f(－a)＝－1＋1＝0. ?f（－a）＝－g（a）＋1，?

答案：0 三、解答题

9．已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．

证明：设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)， 所以f(0)＝0.

又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)． 所以f(－x)＝－f(x)． 所以f(x)为奇函数． 210．已知函数f(x)＝1－. x(1)若g(x)＝f(x)－a为奇函数，求a的值；

(2)试判断f(x)在(0，＋∞)内的单调性，并用定义证明． 2

解：(1)由已知g(x)＝f(x)－a得：g(x)＝1－a－，

x因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即

1－a－

2?2?＝－?1－a－?，解得a＝1. x?（－x）?

(2)函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数，下面证明： 设0

2?2（x1－x2）2?

则f(x1)－f(x2)＝1－－?1－?＝.

x1?x2?

x1x2

因为00， 2（x1－x2）从而<0，即f(x1)

x1x2

所以函数f(x)在(0，＋∞)内是单调增函数．

B级 能力提升

1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )

A．a≤－2 C．a≤－2或a≥2

B．a≥2 D．－2≤a≤2

解析：由已知，函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2.综上知－2≤a≤2.

答案：D

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数．若f(－3)＝0，则

f（x）

<0的解集为______________________． x解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(－∞，0)上是增函数，所以f(x)

在区间(0，＋∞)上是减函数，所以f(3)＝f(－3)＝0.当x>0时，f(x)<0，解得x>3；当x<0时，f(x)>0，解得－33.

答案：{x|－33}

3．已知函数y＝f(x)(x≠0)对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)． (1)求f(1)，f(－1)的值；

(2)判断函数y＝f(x)(x≠0)的奇偶性．

解：(1)因为对于任意的x，y∈R且x，y≠0都满足f(xy)＝f(x)＋f(y)， 所以令x＝y＝1，得到f(1)＝f(1)＋f(1)， 所以f(1)＝0，

令x＝y＝－1，得到f(1)＝f(－1)＋f(－1)， 所以f(－1)＝0.

(2)由题意可知，函数y＝f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称， 令y＝－1，得f(xy)＝f(－x)＝f(x)＋f(－1)，