3.[三] 有3只球，4只盒子，盒子的编号为1，2，3，4，将球逐个独立地，随机地放入4只盒子中去。设X为在其中至少有一只球的盒子的最小号码（例如X=3表示第1号，第2号盒子是空的，第3号盒子至少有一只球），求E (X)。
∵ 事件 {X=1}={一只球装入一号盒，两只球装入非一号盒}+{两只球装入一号盒，一只球装入非一号盒}+{三只球均装入一号盒}（右边三个事件两两互斥）
∴
13?3?1?37?1? P(X?1)?3??????3????????4?4?44464????223∵事件“X=2”=“一只球装入二号盒，两只球装入三号或四号盒”+“两只球装二号盒，一只球装入三或四号盒”+“三只球装入二号盒”
∴
12?2?1?19?1? P(X?2)?3??????3????????4?4?4?4?64?4?11?1?1?7?1? P(X?3)?3??????3????????4?4?44464????1?1P(X?4)?? ???64?4?E(X)?1?37197125?2??3??4?? 64646464163223223同理：
故
5.[五] 设在某一规定的时间间段里，其电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个连续型随机变量。其概率密度为
?10?x?1500?(1500)2x,???1f(x)??(x?3000),1500?x?1500 2(1500)?其他?0??求E (X) 解：E(X)??????xf(x)dx
??15000x?xdx?2(1500)?30001500x?(3000?x)dx2(1500)1x315001 ??(1500)230(1500)2?1500(分)6.[六] 设随机变量X的分布为
求 E (X)， E (3X2+5) 解：
X Pk
－2 0.4
?x3?30002?1500x?3?1500 ??0 0.3
2 0.3
E (X)= (－2)×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2 E (X2)= (－2)2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8 E (3X2+5) = 3E (X2)+ E (5)= 8.4+5=13.4
7.[七] 设随机变量X的概率密度为
?e?x,x?0 f(x)??0,x?0?求（1）Y=2X
解：（1）E(y)?（2）Y=e
??－2x
的数学期望。
?????2xf(x)dx??02xe?xdx
??2xe?x?2e?x?????0??2
???0 （2）E(Y)????e?2xf(x)dx?e?2xe?xex
??1?3x?1e? 3038.[八] 设（X，Y）的分布律为 X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0.1 3 0 0.3 0.1
(1) 求E (X)，E (Y )。 (2) 设Z=Y/X，求E (Z )。 (3) 设Z= (X－Y )2，求E (Z)。
解：（1）由X，Y的分布律易得边缘分布为
X Y －1 0 1 1 0.2 0.1 0.1 0.4 －1 2 0.1 0 0.1 0.2 3 0 0.3 0.1 0.4 0.3 0.4 0.3 1 0 E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4
=0.4+0.4+1.2=2. E(Y)= (－1)×0.3+0×0.4
+1×0.3=0. 1/3 1/2 1 （2） Z=Y/X －1/2 －1/3 pk 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1
E (Z )= (－1)×0.2+(－0.5)×0.1+(－1/3)×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1 = (－1/4)+1/30+1/20+1/10=(－15/60)+11/60=－1/15. （3） 0 1 4 9 16 Z (X－Y)2 (1-1)2 (1- 0)2或(2-1)2 (2- 0)2或(1- (-1))2或(3-1)2 (3- 0)2或(2-(-1))2 (3-(-1))2
pk 0.1 0.2 0.3 0.4 0
E (Z )=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=5
10.[十] 一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为
?1?1x?e4,x?0工厂规定出售的设备若在一年内损坏，可予以调换。若工厂出售一f(x)??4??0,x?0台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元。试求厂方出售一台设备净赢
利的数学期望。
1解：一台设备在一年内损坏的概率为P(X?1)?4故P(X?1)?1?P(X?1)?1?(1?e则
?14?1?1xe4dx?0?e?x1?1440?1?e
)?e?14.设Y表示出售一台设备的净赢利
?(?300?100)??200,(X?1)Y?f(X)??
100,(X?1).??14故 E(Y)?(?200)?P(X?1)?100?P(X?1)??200?200e ?300e?14?100e?14
?200?33.64
11.[十一] 某车间生产的圆盘直径在区间（a, b）服从均匀分布。试求圆盘面积的数学期望。
解：设X为圆盘的直径，则其概率密度为
1??,x?(a,b)f(x)??b?a
?0,其它.?用Y表示圆盘的面积，则Y?1πX2,从而 4baE(Y)?
???1??ππxf(x)dx?442?(b3?a3)π1π2xdx???(a2?ab?b2).b?a4(b?a)31212.[十三] 设随机变量X1，X2的概率密度分别为
?2e?2x,f1(x)???0x?0x?0?4e?4x,x?0 f2(x)??,x?0?02
求（1）E (X1+X2)，E (2X1－3X2)；（2）又设X1，X2相互独立，求E (X1X2)
解：（1）E(X1?X2)?E(X1)?E(X2)???0x?2e?2xdx???0x?4e?4xdx
1?2x???1?4x??113?2x?4x?xe?e??xe?e???? =????240????024422 （2）E(2X1?3X2)?2E(X1)?3E(X2)?2?1?32??0x2?4e?4xdx
x?4x1?4x??35?2?4x1?3?xe?e?e?1?? =??2888??0 （3）E(X1X2)?E(X1)?E(X2)?111?? 24813.[十四] 将n只球（1～n号）随机地放进n只盒子（1～n号）中去，一只盒子装一只球。将一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对，记X为配对的个数，求E(X )
?1第i号盒装第i号球解：引进随机变量Xi??
0第i号盒装非i号球? i=1, 2, … n 则球盒对号的总配对数为X?Xi的分布列为
Xi: 1 0 ?Xi?1ni
P: 1 nn?1 n
E(Xi)1 ni=1, 2 …… n
∴ E(X)?E(?Xi)??E(Xi)?n?i?1i?1nn1?1 i=1, 2 …… n n14.[十五] 共有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能打开门上的锁，用它们去试开门上的锁。设抽取钥匙是相互独立的，等可能性的。若每把钥匙经试开一次后除去，试用下面两种方法求试开次数X的数学期望。
（1）写出X的分布律，（2）不写出X的分布律。 解：（1）
X P 1 2 3 ……n ……1 nn?11 ?nn?1n?1n?21 ??nn?1n?21 n E(X)?1?1111?2???nn?1?2????n??? nnnn2（2）设一把一把钥匙的试开，直到把钥匙用完。
?i第i次试开能开门设 Xi?? i=1, 2 …… n
0第i次试开不能开门?则试开到能开门所须试开次数为X?Xi P i ?Xi?1ni
0 ∵
E (Xi)=i?n?1n?211???? nn?1n?innnn?1 n1 ni=1, 2……n
∴ E(X)??E(Xi?1i)?i12nn?1??????? ?nnnn2i?115. （1）设随机变量X的数学期望为E (X)，方差为D (X)>0，引入新的随机变量（X*称为标准化的随机变量）：X*?验证E (X* )=0，D (X* )=1
X?E(X)D(X)
概率论与数理统计答案（高等教育出版社）（浙江大学第四版）
