重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质
[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 直线与抛物线的位置关系、平面向量2024 数量积的运算·T8 双曲线的几何性质·T11 直线与抛物线的位置关系、弦长公式、2017 基本不等式的应用·T10 双曲线的几何性质·T15 双曲线的几何性质与标准方程·T5 2016 抛物线与圆的综合问题·T10 双曲线的几何性质·T9 双曲线的渐近线及标准方程·T5 直线与椭圆的位置关系、椭圆的离心率·T11 全国卷Ⅱ 双曲线的几何性质·T5 直线的方程及椭圆的几何性质·T12 全国卷Ⅲ 双曲线的几何性质·T11 直线与抛物线的位置关系·T16 双曲线的定义、离心率问题·T11 (1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．
(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．
考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评
1.[椭圆的定义]设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中
95|PF2|
点在y轴上，则的值为( )
|PF1|
A.
5
14
5 B. 95 D.
13
x2y2
4C. 9
解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得
b2513|PF2|5
PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，所以＝. a33|PF1|13
2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e＝
6
，F1，F2分别是双曲线的左、2
右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|等于( )
A．82 C．22
B．42 D．8
解析：选A 由题意可知2b＝4，e＝＝
ca6
，于是a＝22.∵2|AB|＝|AF2|＋|BF2|， 2
∴|AB|＋|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝4a＝82.
3.[抛物线的定义]过抛物线y＝2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|＝2|BF|＝6，则p＝________.
解析：设直线AB的方程为x＝my＋，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2，将直线AB的
2方程代入抛物线方程得y－2pmy－p＝0，所以y1y2＝－p，4x1x2＝p.设抛物线的准线为l，过A作AC⊥l，垂足为C，过B作BD⊥l，垂足为D，因为|AF|＝2|BF|＝6，根据抛物线的定义知，|AF|＝|AC|＝x1＋＝6，|BF|＝|BD|＝x2＋＝3，所以x1－x2＝3，x1＋x2＝9－p，所
22以(x1＋x2)－(x1－x2)＝4x1x2＝p，即18p－72＝0，解得p＝4.
答案：4
[解题方略] 圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)； (2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(2a＜|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|＝d(d为M点到准线的距离)．
[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.
考点二 圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评
[大稳定——常规角度考双基]
2
2
2
2
2
2
2
2
pppx2y2
1.[双曲线的标准方程]已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦距为45，渐近线方程
ab为2x±y＝0，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 416C.
－＝1 1664
x2y2
B.
－＝1 164
x2y2
x2y2
D.－＝1
6416
x2y2
x2y2
解析：选A 易知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的焦点在x轴上，所以由渐近线方程为
ab2x±y＝0，得＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c＝25.结合c＝a＋b，可得a＝2，
ba222
b＝4，所以双曲线的方程为－＝1.
4
16
x2y2
2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．
解析：设长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，
?b＝3c，由已知得?
?a－c＝3，
y2
?a＝23，
又a＝b＋c，∴?b＝3，
?c＝3.
2
2
2
∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
129912答案：＋＝1或＋＝1
129912
3.[抛物线的标准方程]若抛物线y＝2px(p＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．
解析：因为抛物线y＝2px(p＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， 若设该点为P，则P(x0，±6)．
2
2
x2y2x2y2
x2y2x2
??因为P到抛物线焦点F?，0?的距离为10，
?2?
根据抛物线的定义得x0＋＝10.①
2因为P在抛物线上，所以36＝2px0.② 由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1， 所以抛物线的标准方程为y＝4x或y＝36x. 答案：y＝4x或y＝36x
[解题方略] 求解圆锥曲线标准方程的思路
定型 就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程 即利用待定系数法求出方程中的a，b或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线计算 常设为y＝2ax或x＝2ay(a≠0)，椭圆常设为mx＋ny＝1(m>0，n>0)，双曲线常设为mx－ny＝1(mn>0) [小创新——变换角度考迁移]
222222222
2
2
2
ppx2y2
1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C：2－2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，点B是虚
ab―→―→―→
轴的一个端点，线段BF与双曲线C的右支交于点A，若BA＝2AF，且|BF|＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 65
x2y2
B.－＝1
812
x2y2
C.－＝1 84
x2y2
D.－＝1
46
x2y2
―→―→?2cb?解析：选D 不妨设B(0，b)，由BA＝2AF，F(c,0)，可得A?，?，代入双曲线C?33?4c1
的方程可得×2－＝1，
9a9
2
b23∴2＝.① a2
―→22222
又|BF|＝b＋c＝4，c＝a＋b， ∴a＋2b＝16.②
由①②可得，a＝4，b＝6， ∴双曲线C的方程为－＝1.
46
2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y＝4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3，1)射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为( )
4A. 34C．± 3
4
B．－
316
D．－
9
2
2
2
2
2
x2y2
1?1?2
解析：选B 将y＝1代入y＝4x，可得x＝，即A?，1?.由抛物线的光学性质可知，
4?4?1－04
直线AB过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k＝＝－. 13－14
3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆＋＝1，＋＝1内部重叠区域的边界为曲线C，P259259是曲线C上的任意一点，给出下列四个命题：
①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四点的距离之和为定值； ②曲线C关于直线y＝x，y＝－x均对称； ③曲线C所围区域的面积必小于36； ④曲线C的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号为________．
解析：对于①，若点P在椭圆＋＝1上，则P到F1(－4，0)，F2(4,0)两点的距离之259和为定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个
x2y2y2x2
x2y2
??25＋9＝1，
椭圆的方程?yx??25＋9＝1，
2
2
x2y2
得y＝x，结合椭圆的对称性知，曲线C关于直线y＝x，y22
＝－x均对称，故②正确；对于③，曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.
答案：②③
考点三 圆锥曲线的几何性质 增分考点·深度精研
[析母题——高考年年“神”相似]
x2y2
[典例] (1)(2024·全国卷Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，
abA是C的左顶点，点P在过A且斜率为
则C的离心率为( )
2
A. 31C. 3
1 B. 21 D.
4
3
的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，6
x2y2
(2)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p＞0)的准线分别
ab交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB的面积为2，则p＝( )
A．2 C．23
B．1 D．3
x2y2
(3)已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲
ab线的右支交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e(e为双曲线离心率)的值为________．
[解析] (1)如图，作PB⊥x轴于点B.由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1.由∠F1F2P|PB|33
＝120°，可得|PB|＝3，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan ∠PAB＝＝＝，|AB|a＋26
2
c1
解得a＝4，所以e＝＝.
a4
b22b(2)不妨设A点在B点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋2＝e＝5，解得＝2，所
aa以双曲线的两条渐近线方程为y＝±x＝±2x.又抛物线的准线方程为x＝－，则交点的坐a2
bp
高考数学二轮复习第一部分专题十一圆锥曲线的方程与性质学案理解析版
