46分大题保分练(一)
(建议用时：40分钟)
17．(12分)(2024·石家庄模拟)已知△ABC的面积为33，且内角A，B，C依次成等差数列．
(1)若sin C＝3sin A，求边AC的长；
(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．
[解] (1)∵△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°.
1
设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由△ABC的面积S＝33＝acsin B可得ac＝12.
2∵sin C＝3sin A，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6. △ABC中，b＝a＋c－2accos B＝28，∴b＝27. 即AC的长为27.
→1→→
(2)∵BD是AC边上的中线，∴BD＝(BC＋BA)，
2
→21→2→2→→1221221
∴BD＝(BC＋BA＋2BC·BA)＝(a＋c＋2accos∠ABC)＝(a＋c＋ac)≥(2ac＋ac)＝
44449，当且仅当a＝c时取“＝”，
→
∴|BD|≥3，即线段BD长的最小值为3.
18．(12分)(2024·武汉模拟)如图，已知三棱锥P-ABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)设F为棱PA的中点，在AB上取点E，使得AE＝2EB，求三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比．
[解] (1)在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4， 由余弦定理可得PC＝23， ∴PC＋BC＝PB，∴PC⊥BC，
又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC， ∵PC?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)设三棱锥F-ACE的高为h1，三棱锥P-ABC的高为h， 1
则VF-ACE＝×S△ACE×h1
3121＝×S△ABC××h× 332
2
2
22
2
2
- 1 -
11＝×S△ABC×h× 331
＝×VP-ABC. 3
∴三棱锥F-ACE与四棱锥C-PBEF的体积之比为1∶2.
19．(12分)(2024·昆明模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期一天)，此商店每天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的)．根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果一天内无法售出，则食品过期作废，现统计该食品100天的销售量如下表：
销售量/份 天数 15 10 16 20 17 30 18 20 19 10 20 10 (1)根据该食品100天的销售量统计表，求平均每天销售多少份； (2)视样本频率为概率，以一天内该食品所获得的利润的平均值为决策依据，东方商店一次性购进17或18份，哪一种得到的利润更大？
[解] (1)平均每天销售的份数为＝17.3.
(2)当购进17份时，利润为
702010
17×4×＋(16×4－8)×＋(15×4－16)×＝47.6＋11.2＋4.4＝63.2(元)．
100100100当购进18份时，利润为 18×4×
40302010
＋(17×4－8)×＋(16×4－16)×＋(15×4－24)×＝28.8＋18＋100100100100
15×10＋16×20＋17×30＋18×20＋19×10＋20×10
100
9.6＋3.6＝60(元)．
63．2＞60，
可见，当购进17份时，利润更大．
选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
??x＝rcos α＋2?
?y＝rsin α?
(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
π系，射线l的极坐标方程为θ＝. 3
(1)求曲线C的极坐标方程；
11
(2)当0 |OA||OB| - 2 - [解] (1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)＋y＝r， 令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， 化简得ρ－4ρcos θ＋4－r＝0. π22 (2)法一：把θ＝代入曲线C的极坐标方程中，得ρ－2ρ＋4－r＝0. 3令Δ＝4－4(4－r)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r＜4. 方程的解ρ1，ρ2分别为点A，B的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r＞0， ∴ 111ρ1＋ρ22＋＝＋＝＝2. |OA||OB|ρ1ρ2ρ1ρ24－r1 2 2 2 2 2 2 2 222 ∵3＜r＜4，∴0＜4－r＜1， ∴ 1＋∈(2，＋∞)． |OA||OB|1 1x＝t??2 法二：射线l的参数方程为? 3y＝t??2－2)＋y＝r中得，t－2t＋4－r＝0， 2 2 2 2 2 (t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的方程(x令Δ＝4－4(4－r)＞0，结合0＜r＜2，得3＜r＜4， 方程的解t1，t2分别为点A，B对应的参数，t1＋t2＝2，t1t2＝4－r，t1＞0，t2＞0， ∴ 111t1＋t22 ＋＝＋＝＝2. |OA||OB|t1t2t1t24－r1 2 2 2 22 ∵3＜r＜4，∴0＜4－r＜1， ∴ 1＋∈(2，＋∞)． |OA||OB|1 23．(10分)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f(x)＝|1－x|－|x＋3|. (1)求不等式f(x)≤1的解集； (2)若函数f(x)的最大值为m，正实数p，q满足p＋2q＝m，求[解] (1)不等式可化为 ?x≤－3，????1－x＋x＋3≤1 21 ＋的最小值． p＋2q?－3＜x＜1，?或???1－x－x－3≤1 ??x≥1，或???x－1－x－3≤1， - 3 -
(通用版)2024高考数学二轮复习46分大题保分练(一)(文)
