备战2024年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2024)
专题23概率统计与图论
历年联赛真题汇编
1．【2008高中数学联赛(第01试)】甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负3
3
2
1
相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望????为( ) A．
24181
B．
26681
C．
27481
D．
670243
【答案】B
【解析】解法一依题意知，??的所有可能值为2，4，6.设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为()+
322
()=，
3
9
12
5
若该轮结束时，比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响，
从而??(??=2)=，??(??=4)=()()=
9
9
9
5
4
5
2081
，??(??=6)=()=
9
42
1681
，
故????=2×+4×
9
52081
+6×
1681
=
26681
.
故选B．
解法二依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6.令Ak表示甲在第k局比赛中获胜，则????表示乙在第k局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得
??2)=5， ??(??=2)=??(??1??2)+??(??1
9
??2??3??4)+??(??1??2??3??4) ??(??=4)=??(??1??2??3??4)+??(??1??2??3??4)+??(??1
=2[()()+()()]=
3
3
3
3
23
1
13
2
2081
，
??2??3??4)+??(??1??2??3??4) ??(??=6)=??(??1,??2??3??4)+??(??1??2??3??4)+??(??1
=4()()=
3
3
59
22
12
1681
，
2081
因此????=2×+4×故选B．
+6×
1681
=
26681
.
2．【2007高中数学联赛(第01试)】将号码分别为1，2，…，9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b.则使不等式a－2b+10>0成立的事件发生的概率等于( ) A．
8152
B． 81
59
C．
81
60
D． 81
61
【答案】D
【解析】甲、乙二人每人摸出1个小球都有9种不同结果，故基本事件总数为92=81个. 由不等式???2??+10>0得2??
于是，当b=1，2，3，4，5时，每种情形a可取1，2，…，9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种； 当b=6时，a可取3，4，…，9中每一个值，有7种； 当b=7时，a可取5，6，7，8，9中每一个值，有5种； 当b=8时，a可取7，8，9中每一个值，有3种； 当b=9时，a只能取9，有1种. 于是，所求事件的概率为故选D．
3．【2001高中数学联赛(第01试)】若(1+??+??2)1000的展开式为??0+??1??+??2??2+?+??2000??2000，则??0+??3+??6+??9+?+??1998的值为( ) A．3333 【答案】C
45+7+5+3+1
81
=
6181
，
B．3666 C．3999 D．32001
【解析】由于要求的是展开式中每间降两项系数的和，所以联想到1的单位根，用特殊值法. 取??=?+
21
√32
，则??3=1,??2+??+1=0.
① ②
③
令x=1，得31000+??0+??1+??2+??3+?+??2000
令x=ω，得0=??0+??1??+??2??2+?+??2000??2000
令??=??2，得0=??0+??1??2+??2??4+??3??6+?+??2000??4000 ①+②+③得31000=3(??0+??3+??6+?+??1998)， 所以??0+??3+??6+?+??1998=3999. 故选：C.
4．【1995高中数学联赛(第01试)】如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( ) A．1个 【答案】D
【解析】取100个小伙子为这样一种特殊情况，他们的身高与体重互不相等，并且最高者同时也就是最轻者，次高者同时也就是次轻者，…，第k高者同时也就是第k轻者(k=1，2，…，100)，显然这100个小伙子都是棒小伙子，故选D．
5．【2024高中数学联赛B卷(第01试)】设整数n>4，(??+2√???1)??的展开式中?????4与xy两项的系数相等，则n的值为 【答案】51
???????【解析】注意到(??+2√???1)??=∑??(2√???1)??. ??=0??????
???4其中?????4项，仅出现在求和指标r=4时的展开式C4(2√???1)4中，其?????4项系数为(?1)4C4??????=???1而xy项仅出现在求和指标r=n－1时的展开式C???1中， ?????(2√???1)2???3其xy项系数为C???1=(?1)???32??(???1)(???2). ??C???14?(?1)
??(???1)(???2)(???3)
24
B．2个 C．50个 D．100个
.
.
因此有
??(???1)(???2)(???3)
24
=(?1)???32??(???1)(???2).
注意到n>4，化简得???3=(?1)???348，故只能是n为奇数且n－3=48.解得n=51.
6．【2024高中数学联赛A卷(第01试)】将1，2，3，4，5，6随机排成一行，记为a，，c，d，e，f，则abc+def是偶数的概率为 【答案】
109
.
【解析】先考虑abc+def为奇数的情况，此时abc、def一奇一偶，
专题23概率统计与图论(教师版含解析)-备战2024年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2024
