【课时训练】圆锥曲线的综合问题
一、选择题
1．(2024昆明两区七校调研)过抛物线y＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，π
且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|AF|的取值范围是( )
4
2
?1?A.?，1? ?4??1?C.?，＋∞? ?2?
【答案】D
?1?B.?，＋∞?
?4?
2??1
D.?，1＋?
2??4
1?1?11
【解析】记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝?＋|AF|cos θ?＋＝＋|AF|cos θ，
4?4?421
|AF|(1－cos θ)＝，|AF|＝
22
1
.
1－cos θ11
≤1－cos θ2－2
π21
由≤θ<π，得－1 2， 2 2??1 即|AF|的取值范围是?，1＋?. 2??4 x2y2 2．(2024豫西五校联考)已知F1，F2分别是双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点， ab对于左支上任意一点P都有|PF2|＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是( ) A．(1，＋∞) C．(1,3] 【答案】C 【解析】由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， |PF2|4a得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a. |PF1||PF1|所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a. 在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|， 即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3. 又e>1，所以1 2 2 2 B．(2,3] D．(1,2] cay2x2y2 3．(2024郑州质检)已知椭圆C1：－＝1与双曲线C2：＋＝1有相同的焦点， m＋2nmn则椭圆C1的离心率e1的取值范围为________． x2 1 【答案】? ?2? ，1? ?2? x2 y2 【解析】∵椭圆C1：－＝1， m＋2n∴a1＝m＋2，b1＝－n，c1＝m＋2＋n， 2 2 2 m＋2＋nne2＝1＋. 1＝ m＋2m＋2x2y2 ∵双曲线C2：＋＝1， mn∴a2＝m，b2＝－n，c2＝m－n. ∴由条件，知m＋2＋n＝m－n，则n＝－1. ∴e1＝1－ 22 2 2 1. m＋2 1111<，－>－， m＋22m＋22 由m>0，得m＋2>2，∴1－1121 >，即e1>. m＋222 2 而0 x2y23 4．(2024云南昆明第一中学月考)已知椭圆E：2＋2 ＝1(a＞b＞0)的离心率为，且 ab2 点A(0,1)在椭圆E上． (1)求椭圆E的方程； (2)已知P(0，－2)，设点B(x0，y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点，点B关于x轴的对称点为C，直线AB，AC分别交x轴于点M，N，证明：∠OPM＝∠ONP.(O为坐标原点) (1)【解】由已知得b＝1，＝又∵a＝b＋c，∴a＝4. ∴椭圆E的方程为＋y＝1. 4 (2)【证明】∵点B关于x轴的对称点为C，∴C(x0，－y0)， 1＋y0 ∴直线AC的方程为y＝－x＋1. 2 2 2 2 ca3， 2 x2 2 x0 令y＝0得N??x0，0?. ? ?y0＋1? y0－1?x0，0?. x＋1，令y＝0得M??x0?1－y0? 2 2 直线AB的方程为y＝ ?x0?·?x0?＝x0，而点B(x，y)在椭圆x＋y2＝1上， ∵|OM|·|ON|＝????002 4?y0＋1??1－y0?1－y0 2 ∴＋y＝1，即2＝4， 41－y0 |OM||OP|2 ∴|OM|·|ON|＝4＝|OP|，即＝， |OP||ON|又∠POM＝∠NOP， ∴Rt△OPM∽Rt△ONP， ∴∠OPM＝∠ONP. x20 2 0 x20 y2x2 5．(2024内蒙古包头调研)已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的 ab焦点且垂直长轴的弦长为1. (1)求椭圆C1的方程； (2)设点P在抛物线C2：y＝x＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值． 2 b＝1，?? 【解】(1)由题意，得?b2 2·＝1，??a??a＝2， 解得? ?b＝1.? 因此，所求椭圆C1的方程为＋x＝1. 4 (2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t＋h)， 2 y2 2 则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x＝t＝2t. 直线MN的方程为y＝2tx－t＋h. 将上式代入椭圆C1的方程中，得4x＋(2tx－t＋h)－4＝0， 即4(1＋t)x－4t(t－h)x＋(t－h)－4＝0. ① 因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点， 所以①式中的Δ1＝16[－t＋2(h＋2)t－h＋4]>0. ② 4 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 3 设线段MN的中点的横坐标是x3， x1＋x2tt2－h则x3＝＝. 2 221＋t设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝由题意，得x3＝x4， 即t＋(1＋h)t＋1＝0.③ 由③式中的Δ2＝(1＋h)－4≥0，得h≥1或h≤－3. 当h≤－3时，h＋2<0,4－h<0， 则不等式②不成立，所以h≥1. 当h＝1时，代入方程③，得t＝－1， 将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立． 所以h的最小值为1. 6．(2024安徽亳州联考)已知抛物线E：y＝2px(p＞0)与过点M(a,0)(a＞0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB. (1)确定p与a的数量关系； (2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围． 【解】(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)． ??y＝2px， 由? ?ty＝x－a? 2 2 22 2 t＋1 2 . 消去x得y－2pty－2pa＝0. 2 ∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa， y1y2由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即2 4p∴a－2pa＝0.∵a＞0，∴a＝2p. 2 2 2 ＋y1y2＝0， (2)由(1)可得|AB|＝1＋t|y1－y2|＝2p1＋t·t＋4. 2 y21＋y2 |AM|·|MB|＝AM·MB＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a－y1y2＝a· 2p2 22 →→ －a＝4p(1＋t)． ∵|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|， ∴a·2p1＋t∴λ＝ 2 2 222 t2＋4＝λ·4p2(1＋t2)， 31＋2. 1＋t4＋t221＋t＝ ∵t≥0，∴λ∈(1,2]． x2y22 7．(2024北京西城区模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为ab2 22. (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的 4 斜率无关)？请证明你的结论． 【解】(1)由短轴长为22，得b＝2， ca2－b2222 由e＝＝＝，得a＝4，b＝2， aa2 所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 42(2)以MN为直径的圆过定点F(±2，0)． 证明如下：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)， 且＋＝1，即x0＋2y0＝4， 42 因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y＝所以M?0，为 (x－0)(x－0)＋?y－ 2 2 x2y2 x2y200 22 y0 x0＋2 (x＋2)． ? ? 2y0?2y0?y0?.直线QA方程为y＝(x＋2)，所以N?0，??.以MN为直径的圆x0＋2?x0－2?x0－2? ? ? 2y0??2y0? y－＝0. ??x0＋2??x0－2?? 2 4x0y04y0 即x＋y－2y＋2＝0. x0－4x0－4 因为x0－4＝－2y0，所以x＋y＋2y－2＝0， 令y＝0，则x－2＝0，解得x＝±2. 所以以MN为直径的圆过定点F(±2，0)． 2 2 2 2 2 x0y0 x2y23 8．(2024安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为， ab3 点(3，2)为椭圆上的一点． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值． 5 (1)【解】因为e＝ 33?3?222 ，所以c＝a，a＝b＋?a?.① 33?3? 32 又椭圆过点(3，2)，所以2＋2＝1.② ab由①②，解得a＝6，b＝4， 所以椭圆E的标准方程为＋＝1. 64 22 x2y2 xy??＋＝1， (2)【证明】设直线l：y＝kx＋1，联立?64 ??y＝kx＋1， 得(3k＋2)x＋6kx－9＝0. 设C(x1，y1)，D(x2，y2)，则 6k9 ，x1x2＝－2， 2 3k＋23k＋2 2 2 22 x1＋x2＝－ 易知B(0，－2)， 故kBC·kBD＝ y1＋2y2＋2kx1＋3kx2＋3 ·＝· x1x2x1x2 k2x1x2＋3kx1＋x2＋923kx1＋x29 ＝＝k＋＋ x1x2x1x2x1x2 2k22 ＝k＋3k·－(3k＋2)＝－2. 3 所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值． x2y2 9．(2024吉林一中等五校联考)已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一 ab个端点连线构成等边三角形，且椭圆C的短轴长为23. (1)求椭圆C的标准方程． →→ (2)是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足OM·ON＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由． ?2b＝23，【解】(1)由题意得?a＝2c， ?a＝b＋c， 2 2 2 ?a＝2，解得? ?b＝3. ∴椭圆C的标准方程是＋＝1. 43 (2)当直线l的斜率不存在时，M(0，3)， x2y2 N(0，－3)， → → OM·ON＝－3，不符合题意． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋2， M(x1，y1)，N(x2，y2)． 6 xy??＋＝1，由?43??y＝kx＋2， 22 消去y整理得(3＋4k)x＋16kx＋4＝0， 1 2 12 22 Δ＝(16k)2－16(3＋4k2)>0，解得k＜－或k＞. x1＋x2＝－ → → 2 16k4 2，x1x2＝2， 3＋4k3＋4k41＋k2 3＋4k2 ∴OM·ON＝x1x2＋y1y2＝(1＋k)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝16－12k2. 3＋4k→→2 16－12k∵OM·ON＝2, ∴2＝2， 3＋4k解得k＝± 2 32k－2＋4＝3＋4k2 22 ，满足Δ＞0，故存在符合题意的直线，其方程为k＝±x＋2. 22 7
2024届高考数学一轮复习第9章平面解析几何46圆锥曲线的综合问题课时训练文(含解析)
