函数的单调性
模块框架
高考要求
单调性 要求层次 C 重点 ①概念和图象特征 ②熟知函数的性质和图象 简单函数奇偶性的判断和证明 函数的性质 奇偶性 B 周期性 B 简单函数周期性的判断和证明 难点 ①函数单调性的证明和判断 ②简单函数单调区间的求法 ①复合函数的奇偶性判断与证明 *②抽象函数的奇偶性 ①复合函数的周期性判断与证明 *②抽象函数的周期性 知识内容
一、函数单调性
（一） 主要知识：
1
1.函数单调性的定义：
①如果函数f?x?对区间D内的任意x1,x2，当x1?x2时都有f?x1??f?x2?，则称f?x?在D内是增函数；当x1?x2时都有f?x1??f?x2?，则f?x?在D内时减函数．
②设函数y?f(x)在某区间D内可导，若f??x??0，则y?f(x)为x?D的增函数；若
f??x??0，则y?f(x)为x?D的减函数．
2.单调性的定义①的等价形式：
设x1,x2??a,b?，那么
f?x1??f?x2?x1?x2f?x1??f?x2?x1?x2?0?f?x?在?a,b?是增函数；
?0?f?x?在?a,b?是减函数；
?x1?x2???f?x1??f?x2????0?f(x)在?a,b?是减函数．
3.复合函数单调性的判断：“同增异减”
4.函数单调性的应用．利用定义都是充要性命题．
即若f(x)在区间D上递增（递减）且f(x1)?f(x2)?x1?x2（x1,x2?D）； 若f(x)在区间D上递递减且f(x1)?f(x2)?x1?x2．（x1,x2?D）． ①比较函数值的大小②可用来解不等式．③求函数的值域或最值等
（二）主要方法
1．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集； 2．判断函数的单调性的方法有： ⑴用定义；
用定义法证明函数单调性的一般步骤：
①取值：即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1?x2
②作差变形：通过因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形． ③定号：确定差f(x1)?f(x2)（或f(x2)?f(x1)）的符号，若符号不确定，可以进行分类讨论．
④下结论：即根据定义得出结论，注意下结论时不要忘记说明区间． ⑵用已知函数的单调性； ⑶利用函数的导数；
⑷如果f(x)在区间D上是增（减）函数，那么f(x)在D的任一非空子区间上也是增（减）函数； ⑸图象法；
⑹复合函数的单调性结论：“同增异减” ；
2
复合函数的概念：
如果y是u的函数，记作y?f(u)，u是x的函数，记为u?g(x)，且g(x)的值域与f(u)的定义域的交集非空，则通过u确定了y是x的函数y?f[g(x)]，这时y叫做x的复合函数，其中u叫做中间变量，u?f(u)叫做外层函数，u?g(x)叫做内层函数．
注意：只有当外层函数f(u)的定义域与内层函数g(x)的值域的交集非空时才能构成复合函数f[g(x)]．
⑺奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．
⑻互为反函数的两个函数具有相同的单调性．
⑼在公共定义域内，增函数f(x)?增函数g(x)是增函数；减函数f(x)?减函数g(x)是减函数；增函数f(x)?减函数g(x)是增函数；减函数f(x)?增函数g(x)是减函数．
???b??b??bb?b??,?或,???,0或0，⑽函数y?ax?(a?0,b?0)在?在????????上单调递增；???aaaax????????上是单调递减．
二、函数的奇偶性与对称性
（一） 主要知识：
1．奇函数：如果对于函数y?f(x)的定义域D内任意一个x，都有?x?D，且f(?x)??f(x)，
那么函数f(x)就叫做奇函数；
2．偶函数：如果对于函数y?g(x)的定义域D内任意一个x，都有?x?D，都有
g(?x)?g(x)，那么函数g(x)就叫做偶函数．
3．图象特征：如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心
对称图形，反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；
如果一个函数是偶函数，则它的的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数．
4．奇偶函数的性质：
⑴函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称；
⑵f(x)是偶函数?f(x)的图象关于y轴对称；f(x)是奇函数?f(x)的图象关于原点对称；
⑶奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．
⑷f(x)为偶函数?f(x)?f(?x)?f(|x|)． ⑸若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)?0． ⑹对称性
关于y轴对称：f(?x)?f(x)；
3
高考数学讲义函数的图象与性质.复习题
