Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2024, 9(7), 1084-1091 Published Online July 2024 in Hans. http://www.hanspub.org/journal/aam https://doi.org/10.12677/aam.2024.97128
Lump Solution for Sawada-Kotera-Kadovtsev Petviashvili Equation
Huiqin Xu, Shan Yin
College of Sciences, Inner Mongolia University of Technology, Hohhot Inner Mongolia
Received: Jul. 5th, 2024; accepted: Jul. 21st, 2024; published: Jul. 28th, 2024
Abstract
Using the symbolic calculation software Mathematics and the Hirota bilinear operator, the lump so-lutions of the Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili equation are discussed. We have obtained 7-case lump solutions. We choose one-kind lump solution of them. Its 3D graphics and contour maps are given, when the parameters included in the lump solution take special values. From those graphics, one can observe the characteristics of this lump solution with the increase of time t.
Keywords
Lump Solution, Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili Equation
Sawada-Kotera-Kadovtsev-Petviashvili方程的Lump解
徐慧琴，银 山
内蒙古工业大学理学院，内蒙古 呼和浩特
收稿日期：2024年7月5日；录用日期：2024年7月21日；发布日期：2024年7月28日
摘 要
利用符号计算软件Mathematics和Hirota双线性算子，研究了Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解。我们得到了该方程的7类lump解，选取一类lump解，当参数取特值时，给出了不同的t值对应的3D图形和等高线图。由此可以观察到这个lump解随时间t的增加而变化的特性。
文章引用: 徐慧琴, 银山. Sawada-Kotera-Kadovtsev-Petviashvili方程的Lump解[J]. 应用数学进展, 2024, 9(7): 1084-1091. DOI: 10.12677/aam.2024.97128
徐慧琴，银山
关键词
Lump解，Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili方程
Copyright ? 2024 by author(s) and Hans Publishers Inc.
This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
Open Access 1. 引言
许多物理和力学现象都是非线性的。例如，1895年D. J. Korteweg和G. de Vries [1]发现水波现象是非线性的，并给出了著名的Korteweg-de Vries (KdV)方程；Von Kárman [2]首次指出薄板挠度问题是非线性问题，并且1940年给出了该问题的控制方程——著名的Kárman方程式。因此求解非线性微分方程成为应用数学领域的一个热点问题。迄今为止，许多研究者提出并发展了求解非线性微分方程的各种方法，如Lie对称[3]、Hirota双线性法[4] [5] [6]、同伦摄动法[7] [8]、同伦分析法[9]、Adomian分解法[10] [11] (ADM)、辅助方程法[12] [13] [14]、B?cklund变换和Hirota双线性法的结合[15] [16] [17] [18] [19]等。
其中，Hirota双线性方法是日本著名数学、物理学家Ryogo Hirota [4]提出的一种求解非线性微分方程的方法。近年来，通过Hirota双线性方法，研究了lump解与反应解。例如：YTSF方程的lump解与反应解[20]，(2 + 1)维非线性发展方程的反应解[21]，(3 + 1)维非线性发展方程的精确解[22]，降维双线性方程的lump解[23]，广义(3 + 1)维Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解[24]；非局部KPI方程的lump解[25]；新的广义Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解[26]；2 + 1维Korteweg-de-Vries方程的个一般lump解[27]；Boiti-Leon-Manna-Pempinelli (BLMP)方程的lump解[28]；广义变系数Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解[29]；Ito方程的lump解[30]；Boussinesq波方程的lump单孤子解和lump双孤子解[31]；(3 + 1)维BKP-Boussinesq方程及其降维方程的lump解[32]；(3 + 1)维广义B型Kadomtsev-Petviashvili方程的lump解、lump孤子解和lump条孤子解[33]；Sawada-Kotera (SK)方程的lump解[34]；三阶非线性发展方程的lump解和反应解[35]；(2 + 1)维非对称Nizhnik-Novikov-Veselov方程lump解和lump条状解[36]等等。
用Hirota双线性方法从一个非线性微分方程出发，构造一个具有物理意义的非线性微分方程也是可能的。基于Hirota双线性方法，Wazwaz [37]结合Sawada-Kotera (SK)方程与Kadomtsev-Petviashvili (KP)方程提出了Sawada-Kotera-Kadomtsev-Petviashvili (SKKP)方程。Sawada-Kotera-Kadomtsev Petviashvili (SK-KP)方程如下：
(u+15uutxxx+15uxuxx+45u2ux+uxxxxx)x+uyy=0 (1)
在变换u=2(lnf)xx下SK-KP方程变为以下Hirota双线性形式：
BSK-KP(f=):(DD+Dxt6x2+Dyf?f)2=2?fy2?ftfx?10fxxx+15fxxfxxxx?6fxfxxxxx+f(fyy+fxft+fxxxxxx) (2) ()=0????????=?????其中双线性算子如下：DDa?b?a(x,t)?b(x′,t′)??t?t′???x?x′?=x′ntmxnm。
x=,t′t
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徐慧琴，银山
基于双线性方程(2)，Wazwaz [37]讨论了它的n-孤子解；Wazwaz利用tanh-coth方法[38]讨论了其单孤子解；在[39] [40]中，利用F展开法和指数函数法讨论了SK-KP方程的精确行波解、孤立波解、新的扭波解和周期波解。
基于上述变换，本文利用Hirota双线性方法和符号计算系统Mathematics将研究SK-KP方程(1)的lump解。具体内容如下：第二节在Hirota双线性方法的基础上，讨论了SK-KP方程的lump解，得到了七类lump解；第三节给出了结论。
2. SK-KP方程的Lump解
为了讨论(1)中的Lump解，我们假设方程(2)中的f为：
f=g2+h2+a9, (3)
其中，g=a1x+a2y+a3t+a4，h=a5x+a6y+a7t+a8，ai(i=1,2,?,9)都是实数。将(3)代入式(2)，得到了关于ai(i=1,2,?,9)的代数方程组。在求解该代数方程组，得到以下七组解和相应的方程(1)的Lump解：
第一组：
a1a1=,a20,a30,a4a4=,a5a5=,a60,a70,a8a8=,a9a9 (4) =====其中ai(i=1,4,5,8,9)是任意实数，对应SK-KP方程的lump解如下：
u(x,y,t)=p (5) q22这里=p22(a12+a5)(a1x+a4)+(a5x+a8)+a9?4(a12x+a5(a5x+a8)+a4a1)22(())，
q=((a1x+a4)+(a5x+a8)+a922)2.
第二组：当a7≠0时，
2a6a1=0,a2=0,a3=0,a4=a4,a5=?,a6=a6,a7=a7,a8=a8,a9=a9 (6)
a7相应方程的解如下：
22????a6x2+a6y+a8?+a4+a9?4a???a7t????a7???. (7) u(x,y,t)=22???a6x2?2?+a6y+a8?+a4+a9?a7?a7t????a7???26第三组：
2a1a7a7a1=a1,a2=0,a3=a3,a4=a4,a5=?,a6=?a1+a3,a7=a7,a8=a8,a9=0 (8)
a3a3其中a3≠0,a1≥0。相应的lump解为：
u(x,y,t)=
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p (9) q徐慧琴，银山
这里
???2?222=p4a1a3a3+a7????()2?2??a??xa1a7+ya1a3a3+7?a3(ta7+a8)????a3??(xa1+ta3+a4)2+?2?a3???????????,
2?a7222?2?xa1a3+a7+ya1a3a7a3++a3ta3+a3a4?a7(ta7+a8)?a3?()()?2???????????????. ????22?2??a??xa1a7+ya1a3a3+7?a3(ta7+a8)????a32??4?=qa3(xa1+ta3+a4)+2?a3???第四组：当a3≠0,a1≥0时，
2a1a7a7a1=a1,a2=0,a3=a3,a4=a4,a5=?,a6=a1+a3,a7=a7,a8=a8,a9=0
a3a3方程的解为：
u(x,y,t)=p q这里
???2?222=+a7p4a1a3a3????()2?2??a???xa1a7+ya1a3a3+7+a3(ta7+a8)????a32???(xa1+ta3+a4)+2?a3???????????,
2?a7222?2?xa1a3+a7?ya1a3a7a3++a3ta3+a3a4?a7(ta7+a8)?a3?()()?2???????????????. ????22?2??a???xa1a7+ya1a3a3+7+a3(ta7+a8)????a32??4?qa3(xa1+ta3+a4)+=2?a3???第五组：当a6≠0和a6≠0时，
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2a2a6a2a7a6a1=?,a2==a2,a3,a4==a4,a5?,a6====a6,a7a7,a8a8,a9a9
a7a6a7方程的解为：
u(x,y,t)=p q其中，
322422?4?2a2+ya6a7+ta7+a2?xa6+ya6a7+ta7p=a4a6a7?xa6??()()2322243+2a2a4a6+ya6a7+a7(ta7+2a8)+a2?4xya6a7?xa6a62x2a6a7()()(+a(xa?2xyaa+2yaa(ta+a)+aa((?2tx+y)a+a(?a+ta+2taa+a?a))??2+2ya6a7(2ta7+a8)?2a62a746246367((2tx?y)a278972222+xa8+a7+2t2a7+2ta7a8?a8?a9a42672)),
267287?2xa8)22272422778q?aaa+a?xa2+yaa+ta2467266774?a722?a6a7??(())2?2??xa6?+?ya6?+ta7+a8?+a9?.
a7????第六组：当a3≠0时，
2a2a1=?,a2=a2,a3=a3,a4=a4,a5=0,a6=0,a7=0,a8=a8,a9=a9
a3方程的解为：
22????ax22???a3t?2+a2y+a4?+a84a2+a9????a3???. u(x,y,t)=222???a2x2?2?a3?a3t?+a2y+a4?+a8+a9????a3???22第七组：当a3+a7≠0时，
22?a3a2?2a6a7a2+a3a6=a1=,a2a=a=a4,2,a33,a422a3+a7=a5方程的解为：
aa?2a3a6a2?aa=,a6a=a=a=06,a77,a88,a922a3+a7272276
u(x,y,t)=p, q其中，
DOI: 10.12677/aam.2024.97128
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