2024-2024学年山西省晋中市平遥中学高二（下）第四次月考数
学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）A．﹣40
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） B．﹣20
C．20
D．40
2．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种
B．10种
C．9种
D．8种
4．（5分）2017年11月30日至12月2日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等七所联盟学校（“全国理工联盟”）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中，7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（ ）种 A．5040
B．4800
C．3720
D．4920
5．（5分）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．72种
B．96种
C．108种
第1页（共17页）
D．120种
6．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（ ）年 A．丙酉
B．戊申
C．己申
D．己酉
7．（5分）如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝ex的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A．
B．
?
C．
D．
8．（5分）在△ABC中，“A．充分不必要条件 C．充要条件 9．（5分）已知双曲线（
＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P
，4），则双曲线的方程是（ ）
第2页（共17页）
A． B．
C． D．
10．（5分）若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，4]
D．[4，+∞）
11．（5分）设定义在R上的函数f（x）是连续可导函数，其导函数为f′（x），且对任意的x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝2x2，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜2x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥4﹣4a，则实数a的取值范围为（ ） A．（0，1]
B．[1，2）
C．（﹣∞，1]
D．[1，+∞）
（e自然对数的
12．（5分）已知x0为函数f（x）＝eax+3x的极值点，若底数），则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．（﹣∞，﹣3]
二、填空题.（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
13．（6分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为 ． 14．（6分）用数学归纳法证明某个命题时，左边为1?2?3?4+2?3?4?5+…+n?（n+1）?（n+2）（n+3），从n＝k到n＝k+1左边需增加的代数式为 ． 15．（6分）在
的展开式中，常数项为 ．
16．（6分）已知函数f（x）＝xn﹣xn+1（n∈N*），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴的交点的纵坐标为bn，则数列{bn}的前n项和为 ． 三、解答题.（本大题共1小题，共16分）
17．（16分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分
第3页（共17页）
布直方图．
（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；
（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
25周岁以上（含25
周岁）组 25周岁以下组
合计
P（K2≥k）
k
0.100 2.706
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
生产能手
非生产能手
合计
第4页（共17页）
2024-2024学年山西省晋中市平遥中学高二（下）第四次月考数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 1．（5分）A．﹣40
的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ ） B．﹣20
C．20
D．40
【分析】给x赋值1求出各项系数和，列出方程求出a；将问题转化为二项式的系数和；利用二项展开式的通项公式求出通项，求出特定项的系数． 【解答】解：令二项式中的x为1得到展开式的各项系数和为1+a ∴1+a＝2 ∴a＝1 ∴＝
∴展开式中常数项为∵
＝
的
的系数和
﹣
﹣2r
展开式的通项为Tr+1＝（﹣1）r25rC5rx5
令5﹣2r＝1得r＝2；令5﹣2r＝﹣1得r＝3 展开式中常数项为8C52﹣4C53＝40 故选：D．
【点评】本题考查求系数和问题常用赋值法、考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．
2．（5分）设函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x），且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值，则函数y＝xf′（x）的图象可能是（ ）
A． B．
第5页（共17页）
C． D．
【分析】由题设条件知：当x＞﹣2时，xf′（x）＜0；当x＝﹣2时，xf′（x）＝0；当x＜﹣2时，xf′（x）＞0．由此观察四个选项能够得到正确结果． 【解答】解：∵函数f（x）在R上可导，其导函数f′（x）， 且函数f（x）在x＝﹣2处取得极小值， ∴当x＞﹣2时，f′（x）＞0； 当x＝﹣2时，f′（x）＝0； 当x＜﹣2时，f′（x）＜0． ∴当x＞﹣2时，xf′（x）＜0； 当x＝﹣2时，xf′（x）＝0； 当x＜﹣2时，xf′（x）＞0． 故选：A．
【点评】本题考查利用导数研究函数的极值的应用，解题时要认真审题，注意导数性质和函数极值的性质的合理运用．
3．（5分）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A．12种
B．10种
C．9种
D．8种
【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果
【解答】解：第一步，为甲地选一名老师，有第二步，为甲地选两个学生，有
＝6种选法；
＝2种选法；
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法 故不同的安排方案共有2×6×1＝12种 故选：A．
【点评】本题主要考查了分步计数原理的应用，排列组合计数的方法，理解题意，恰当分步是解决本题的关键，属基础题
4．（5分）2017年11月30日至12月2日，来自北京、上海、西安、郑州、青岛及凯里等
第6页（共17页）
七所联盟学校（“全国理工联盟”）及凯里当地高中学校教师代表齐聚凯里某校举行联盟教研活动，在数学同课异构活动中，7名数学教师各上一节公开课，教师甲不能上第三节课，教师乙不能上第六节课，则7名教师上课的不同排法有（ ）种 A．5040
B．4800
C．3720
D．4920
【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，若教师甲上第六节课，将剩余的6名教师全排列，安排在其他6节课的位置，②，若教师甲上不上第六节课，分析甲乙的安排方法数目，将剩余的5名教师全排列，安排在其他5节课的位置即可，由加法原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：
①，若教师甲上第六节课，将剩余的6名教师全排列，安排在其他6节课的位置，有A66＝720种排法，
②，若教师甲上不上第六节课，由于甲不能上第三节课，则甲有5种安排方法， 教师乙不能上第六节课，则以有5种安排方法，
将剩余的5名教师全排列，安排在其他5节课的位置，有A55＝120种排法， 则此时有5×5×120＝3000种安排方法，
则7名教师上课的不同排法有720+3000＝3720种； 故选：C．
【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题． 5．（5分）如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色（4种颜色全部使用），要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有（ ）
A．72种
B．96种
C．108种
D．120种
【分析】本题是一个分步计数问题，首先给最左边一块涂色，有24种结果，再给左边第二块涂色，最后涂第三块，根据分步计数原理得到结果
【解答】解：由题意知本题是一个分步计数问题，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域4，有2种方法（此前三步已经用去三种颜色）；第四步：涂区域3，分两类：第一类，3与1同色，则区域5涂第四种颜色；第二
第7页（共17页）
类，区域3与1不同色，则涂第四种颜色，此时区域5就可以涂区域1或区域2或区域3中的任意一种颜色，有3种方法．所以，不同的涂色种数有4×3×2×（1×1+1×3）＝96种． 故选：B．
【点评】本题考查计数原理的应用，本题解题的关键是注意条件中所给的相同的区域不能用相同的颜色，因此在涂第二块时，要不和第一块同色．
6．（5分）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支．十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，然后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，以此类推．已知1949年为“己丑”年，那么到中华人民共和国成立80年时为（ ）年 A．丙酉
B．戊申
C．己申
D．己酉
【分析】由题意可得数列天干是以10为等差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，以1949年的天干和地支分别为首项，即可求出答案．
【解答】解：天干是以10为构成的等差数列，地支是以12为公差的等差数列， 从1949年到2029年经过80年，且1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分别为首项，
则80÷10＝8，则2029的天干为己， 80÷12＝6余8，则2029的地支为酉， 故选：D．
【点评】本题考查了等差数列在实际生活中的应用，属于中档题．
7．（5分）如图在直角坐标系xOy中，过坐标原点O作曲线y＝ex的切线，切点为P，过点P分别作x，y轴的垂线垂足分别为A，B，向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
第8页（共17页）
A．
B．
C．
D．
【分析】由导数的几何意义，求过曲线外一点的切线方程得：点P为切点过原点的切线方程为：y＝ex由定积分的几何意义得：S阴＝∫（ex﹣ex）dx＝（ex﹣
）|＝
，
由几何概型中的面积型得：P（A）＝【解答】解：设P（x0，e由y′＝ex，
则以点P为切点过原点的切线方程为：y﹣e
），
＝＝，得解．
＝e
（x﹣x0），
又此切线过点（0，0），求得：x0＝1，即P（1，e）， 以点P为切点过原点的切线方程为：y＝ex
由定积分的几何意义得：S阴＝∫（ex﹣ex）dx＝（ex﹣
）|＝
，
设“向矩形OAPB中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分”为事件A， 由几何概型的面积型可得：
P（A）＝故选：A．
＝＝，
第9页（共17页）
【点评】本题考查的过曲线外一点的切线方程、定积分的几何意义及几何概型中的面积型，属中档题． 8．（5分）在△ABC中，“A．充分不必要条件 C．充要条件
?
＞0”是“△ABC为钝角三角形”的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】利用平面向量的数量积运算法则化简已知的不等式，得到两向量的夹角为锐角，从而得到三角形的内角为钝角，即可得到三角形为钝角三角形；反过来，三角形ABC若为钝角三角形，可得B不一定为钝角，故原不等式不一定成立，可得前者是后者的充分不必要条件． 【解答】解：∵
，即|
|?|
|cosθ＞0，
∴cosθ＞0，且θ∈（0，π）， 所以两个向量的夹角θ为锐角，
又两个向量的夹角θ为三角形的内角B的补角， 所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形， 反过来，△ABC为钝角三角形，不一定B为钝角， 则“故选：A．
第10页（共17页）
”是“△ABC为钝角三角形”的充分条件不必要条件．
【点评】此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有平面向量的数量积运算，以及充分必要条件的证明，熟练掌握平面向量的数量积运算法则是解本题的关键． 9．（5分）已知双曲线（A．
（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，且经过点P
，4），则双曲线的方程是（ ）
B．
C． D．
【分析】求得双曲线的渐近线方程可得＝2，代入点P的坐标，可得a，b的方程组，解方程即可得到所求双曲线的方程． 【解答】解：双曲线
（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，
可得＝2， 由双曲线经过点P（解得a＝
，b＝2
，4），可得， ﹣
＝1．
﹣
＝1，
则双曲线的方程为故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
10．（5分）若不等式2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A．（﹣∞，0）
B．（0，+∞）
C．（﹣∞，4]
D．[4，+∞）
【分析】由已知条件推导出a≤x+2lnx+，x＞0，令y＝x+2lnx+，利用导数性质求出x＝1时，y取最小值4，由此能求出实数a的取值范围． 【解答】解：∵2xlnx≥﹣x2+ax﹣3对x∈（0，+∞）恒成立， ∴a≤x+2lnx+，x＞0，
第11页（共17页）
令y＝x+2lnx+，
则＝，
由y′＝0，得x1＝﹣3，x2＝1， x∈（0，1）时，y′＜0； x∈（1，+∞）时，y′＞0． ∴x＝1时，ymin＝1+0+3＝4． ∴a≤4．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，4]． 故选：C．
【点评】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．
11．（5分）设定义在R上的函数f（x）是连续可导函数，其导函数为f′（x），且对任意的x∈R，都有f（x）+f（﹣x）＝2x2，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜2x．若f（2﹣a）﹣f（a）≥4﹣4a，则实数a的取值范围为（ ） A．（0，1]
B．[1，2）
C．（﹣∞，1]
D．[1，+∞）
【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣x2，然后探究函数g（x）在R上的奇偶性和单调性，即可求解．
【解答】解：令x＝0，则f（0）+f（0）＝0， 得f（0）＝0．
令g（x）＝f（x）﹣x2， ∴g（x）+g（﹣x）＝0， 则g（x）为奇函数， 且g（0）＝f（0）﹣02＝0，
当x＞0时，g′（x）＝f′（x）﹣2x＜0， ∴g（x）在R上单调递减．
∵f（2﹣a）﹣f（a）≥4﹣4a?g（2﹣a）≥g（a）， ∴2﹣a≤a， 解得a≥1
第12页（共17页）
故选：D．
【点评】本题考查构造函数的方法、导数的应用、函数奇偶性的判断等基础知识，难度较大．
12．（5分）已知x0为函数f（x）＝eax+3x的极值点，若底数），则实数a的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．（﹣∞，﹣3]
，构造新函数，（e自然对数的
【分析】由x0为函数f（x）＝eax+3x的极值点，可求得x0＝求得a的取值范围即可．
【解答】解：f（x）＝eax+3x，f'（x）＝aeax+3，
当a≥0时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，无极值， 当a＜0时，f（x）在（﹣∞，调递增， 所以x0＝
，令t＝﹣，x0＝g（t）＝﹣tln（3t），
）上单调递增，（
）上单调递减，在（
，+∞）上单
g'（t）＝﹣ln（﹣3t）﹣1，所以g（t）在（0，减，
g（）＝﹣，g（所以﹣3e＜a＜﹣， 故选：B．
）＝
，所以
，+∞）上单调递
＜t＜，即，
【点评】本题主要考查利用导数求函数的极值与最值，属于中档题． 二、填空题.（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
13．（6分）已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为 2 ． 【分析】根据复数相等的充要条件，构造关于a，b的方程，解得a，b的值，进而可得答案．
【解答】解：∵（1+i）（1﹣bi）＝1+b+（1﹣b）i＝a，a，b∈R， ∴解得：
， ，
第13页（共17页）
∴＝2， 故答案为：2
【点评】本题考查的知识点是复数的乘法运算，复数相等的充要条件，难度不大，属于基础题．
14．（6分）用数学归纳法证明某个命题时，左边为1?2?3?4+2?3?4?5+…+n?（n+1）?（n+2）（n+3），从n＝k到n＝k+1左边需增加的代数式为 （k+1）（k+2）?（k+3）?（k+4） ． 【分析】从n＝k到n＝k+1时，左边需增加的代数式是[2（k+1）﹣1]2﹣（2k﹣1）2，即可得出．
【解答】解：用数学归纳法证明左边为1?2?3?4+2?3?4?5+…+n?（n+1）（n+2）?（n+3）的过程中，
从n＝k到n＝k+1时，
左边需增加的代数式是（k+1）（k+2）?（k+3）?（k+4）， 故答案为：（k+1）（k+2）?（k+3）?（k+4）．
【点评】本题考查了数学归纳法的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．（6分）在【分析】2，3，4）．
的展开式中，常数项为 ﹣5 ． 的展开式中的通项公式：Tr+1＝的通项公式：Tk+1＝
（﹣1）4
﹣r
（r＝0，1，xr
﹣2k
＝（﹣1）k
，令r﹣2k
＝0，即r＝2k．进而得出． 【解答】解：1，2，3，4）． ∵
的通项公式：Tk+1＝
＝（﹣1）k
xr
﹣2k
的展开式中的通项公式：Tr+1＝
（﹣1）4
﹣r
（r＝0，
，
令r﹣2k＝0，即r＝2k．
r＝0，k＝0；r＝2，k＝1；r＝4，k＝2． ∴常数项＝1﹣故答案为：﹣5．
【点评】本题考查了二项式定理的应用、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
第14页（共17页）
×+×1＝﹣5．
16．（6分）已知函数f（x）＝xn﹣xn+1（n∈N*），曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴的交点的纵坐标为bn，则数列{bn}的前n项和为 n?2n+1 ．
【分析】推导出f′（x）＝nxn1﹣（n+1）xn，利用导数的几何意义求出曲线y＝f（x）
﹣
在点（2，f（2））处的切线方程为y+2n＝（﹣1﹣）?2n（x﹣2），从而求出bn＝（n+1）?2n，由此能求出数列{bn}的前n项和． 【解答】解：∵函数f（x）＝xn﹣xn+1（n∈N*）， ∴f′（x）＝nxn1﹣（n+1）xn，
﹣
∴f′（2）＝n?2n1﹣（n+1）?2n＝（﹣1﹣）?2n，
﹣
f（2）＝2n﹣2n+1＝﹣2n，
∴曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为： y+2n＝（﹣1﹣）?2n（x﹣2），
∵曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线与y轴的交点的纵坐标为bn， ∴bn＝（n+1）?2n， ∴数列{bn}的前n项和为：
Sn＝2×2+3×22+4×23+…+（n+1）×2n，① 2Sn＝2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1，② ①﹣②，得：﹣Sn＝4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）×2n+1 ＝4+＝﹣n?2n+1， ∴Sn＝n?2n+1． 故答案为：n?2n+1．
【点评】本题考查数列的前n项和的求法，考查导数的几何意义、错位相相减求和法等基础知识，突出对分析、推理与计算能力的考查与应用，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
三、解答题.（本大题共1小题，共16分）
17．（16分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名，为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25
第15页（共17页）
﹣（n+1）×2n+1
周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分别加以统计，得到如图所示的频率分
布直方图．
（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，求25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数的估计值（四舍五入保留整数）；
（2）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（3）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
25周岁以上（含25
周岁）组 25周岁以下组
合计
P（K2≥k）
k
0.100 2.706
0.050 3.841
0.010 6.635
0.001 10.828
生产能手
非生产能手
合计
【分析】（1）由（0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5计算中位数； （2）列出所有基本事件，由古典概型可得答案， （3）完成列联表，再利用公式K2＝
求值，从而查表可得；
【解答】解：（1）根据“25周岁以上（含25周岁）组”的频率分布直方图，设25周岁以上（含25周岁）组工人日平均生产件数的中位数为x；
第16页（共17页）
（0.005+0.035）×10+（x﹣70）×0.035＝0.5； 解得：x≈70+3＝73；
（2）由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名， 所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3（人）， 记为A1，A2，A3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2（人）， 记为B1，B2，从中随机抽取2名工人，所有可能的结果共有10种，
他们是：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，B1）， （A，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）．
其中，至少有一名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是（A1，B1），（A1，B2），
（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）． 故所求的概率为：P＝
；
（3）由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有：60×0.25＝15（人），“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15（人）， 据此可得2×2列联表如下：
25周岁以上（含25
周岁）组 25周岁以下组
合计
由
因为：1.79＜2.706，
所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”； 故答案为：（1）中位数为x≈73；（2）P＝工人所在的年龄组有关”；
【点评】本题考查了独立性检验的应用，中位数，古典概型，属于中档题．
生产能手 15
非生产能手
45
合计 60
15 30
可得：
25 70
40 100 ＝
≈1.79；
；（3）没有90%的把握认为“生产能手与
第17页（共17页）
2024-2024学年山西省晋中市平遥中学高二（下）第四次月考数学试卷（理科）
