第9讲 相似三角形5：梅氏定理、塞瓦定理
一、 基础知识
1． 梅涅劳斯定理（Menelaus theorem）
CA、AB或其延长线上有点D、在⊿ABC的三边BC、E、F，若D、E、F共线，则：
AFBDCE???1； FBDCEA
2． 梅涅劳斯定理的逆定理
在⊿ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点D、E、F，若线．
3． 塞瓦定理（Ceva theorem）
设O是⊿ABC内任意一点，AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则
AFBDCE???1，则D、E、F共FBDCEAAEBDCF???1 EBDCFA4． 塞瓦定理的逆定理
设点D、E、F分别在⊿ABC的边BC、AB、CA上，若一点．
二、 例题部分－梅氏定理及逆定理的应用
例1．设AD为⊿ABC的一条中线，作任一直线CF交AD于E，交AB于F，求证：
AEBDCF???1，则AD、CE、BF交于EBDCFAAE2AF ?EDFB
例2．如图，D为⊿ABC的BC边的中点，E为AC边上的点，且AC＝3CE，BE和AD交于F点，求的值；
AFFD
例3．图中AD是⊿ABC的中线，E是AD上的点，且AE＝2DE，连结BE并延长交AC于F．（1）求证：AF＝FC；（2）求
BF的值； EF
例4．设D、E分别在⊿ABC的边AC与AB上，BD与CE交于F，AE＝EB，求S四边形AEFD
AD2?，SDC3ABC＝40，
例5．图中，⊿ABC的∠B的平分线BE与BC边的中线AD垂直且相等，已知BE＝AD＝4，求⊿ABC的三边．
例6．在梯形ABCD的对角线AC的延长线上任意取一点P，过P点及梯形两底中点的直线分别交腰AB及CD于M、N点，求证：线段MN与梯形的底平行；
例7．如图，已知
1111，求证：∠BPQ＝∠DPQ． ???PAPDPCPB
例8．如图⊿ABC的∠A的外角平分线与边BC的延长线交于P点，∠B的平分线与边CA交于Q点，∠C的平分线与边AB交于R点，求证：P、Q、R三点共线．
三、塞瓦定理及逆定理的应用 例9．求证：（1）三角形的三条中线共点（重心）；（2）三角形的三条内角平分线共点（内心）；（3）锐角三角形的三条高所在的直线共点（垂心）；
例10．在⊿ABC中，D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC，设BE与CD交于S，求证：AS通过BC边的中点M．
例11．⊿ABC中，M是BC的中点，AD平分∠A，BE⊥AD于E，BE交AM于N，求证：DN∥AB．
例12．试证：过三角形三顶点且平分三角形周长的三条直线共点．
例13．四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，连BE交AC于F，延长DF交BC于G，求证：∠GAC＝∠EAC；
例14．已知AD是锐角⊿ABC的高，H是AD上任意一点，连结BH，CH并延长交AC、AB于E、F，连结DE、DF，求证：∠EDH＝∠FDH．
三、 练习题
1．在⊿ABC的两边AB、AC上分别取点Q、R，满足AQ:QB＝2:1，AR:RC＝1:2，连结QR交CB延长线于P，那么PC:PB等于（ ） A．4:1 B．2:1 C．1:4 D．1:2
2．ABCD为平行四边形，BC＝12，DC＝10，对角线AC与BD交于O，E是BC延长线上一点，且CE＝4，OE交DC于F，那么CF的长是（ ） A．1 B．2 C．0.5 D．3
3．已知M、N分别在⊿ABC的边AC、AB上，且MN∥BC，BM、CN交于O点，连结AO并延长交BC于D，那么BD:DC（ ） A．大于1 B．小于1 C．等于1 D．以上都可能 4．在⊿ABC中，如果AD交BC于D，BE交AC于E，CF交BA于F，AD、BE、CF相交于一点，BD?2，EACEAF等于________； ?3，那么
FBDC5．在⊿ABC的BC边上任取一点D，设∠ADB、∠ADC的平分线与AB、AC分别相交于F、E，求证AD、BE、CF交于一点；
6．在⊿ABC中，D、E分别是BC、CA上的点，且BD：DC＝m：1，CE：EA＝n：1，AD与BE相交于F，那么SABF:SABC＝___________；
7．在⊿ABC中，D是BC上的点，
BD1?，E是AC中点，AD、BE相交于点O，CO交AB于F，求DC3四边形BDOF的面积与⊿ABC的面积之比．
奥数-相似-梅氏赛瓦定理5学
