大学概率论与数理统计
公式全集
Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998
大学概率论与数理统计公式全集
一、随机事件和概率
1、随机事件及其概率
运算律名称 表达式 交换律 结合律 分配律 德摩根律 2、概率的定义及其计算 公式名称 求逆公式 加法公式 条件概率公式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 （逆概率公式） 伯努利概型公式 两件事件相互独立相应公式 公式表达式 P(AB)?P(A)P(B)；P(BA)?P(B)；P(BA)?P(BA)；P(BA)?P(BA)?1；P(BA)?P(BA)?1 二、随机变量及其分布
1、分布函数性质 2、离散型随机变量
分布名称 分布律 0–1分布B(1,p) 二项分布B(n,p) 泊松分布P(?) 几何分布G(p) 超几何分布H(N,M,n) 3、连续型随机变量
分布名称
密度函数 分布函数 均匀分布U(a,b) 指数分布E(?) 正态分布N(?,?2) 标准正态分布N(0,1) 三、多维随机变量及其分布
1、离散型二维随机变量边缘分布 2、离散型二维随机变量条件分布
3、连续型二维随机变量( X ,Y )的联合分布函数F(x,y)???????f(u,v)dvdu 4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
边缘分布函数：FX(x)???????f(u,v)dvdu 边缘密度函数：fX(x)????f(x,v)dv 5、二维随机变量的条件分布
x????xy四、随机变量的数字特征
1、数学期望
离散型随机变量：E(X)?2、数学期望的性质
(1)E(C)?C,C为常数 E[E(X)]?E(X) E(CX)?CE(X)
(2)E(X?Y)?E(X)?E(Y) E(aX?b)?aE(X)?b E(C1X1??CnXn)?C1E(X1)??CnE(Xn) (3)若XY相互独立则：E(XY)?E(X)E(Y) (4)[E(XY)]2?E2(X)E2(Y) 3、方差：D(X)?E(X2)?E2(X) 4、方差的性质
(1)D(C)?0 D[D(X)]?0 D(aX?b)?a2D(X) D(X)?E(X?C)2
(2)D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) 若XY相互独立则：D(X?Y)?D(X)?D(Y) 5、协方差：Cov(X,Y)?E(X,Y)?E(X)E(Y) 若XY相互独立则：Cov(X,Y)?0 6、相关系数：?XY??(X,Y)?Cov(X,Y)D(X)D(Y)?k?1??xkpk 连续型随机变量：E(X)??????xf(x)dx
若XY相互独立则：?XY?0即XY不相关
7、协方差和相关系数的性质
(1)Cov(X,X)?D(X) Cov(X,Y)?Cov(Y,X)
(2)Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y) Cov(aX?c,bY?d)?abCov(X,Y) 8、常见数学分布的期望和方差
分布 数学期望 方差 0-1分布B(1,p) 二行分布B(n,p) 泊松分布P(?) 几何分布G(p) 超几何分布H(N,M,n) 均匀分布U(a,b) 正态分布N(?,?2) 指数分布E(?) 五、大数定律和中心极限定理
1、切比雪夫不等式
)D(X)若E(X)??,D(X)??2,对于任意??0有P{X?E(X)??}?D(X或 P{X?E(X)??}?1?22??2、大数定律：若X1?Xn相互独立且n??时，1n(1)若X1?Xn相互独立，E(Xi)??i,D(Xi)??i2?i?1n1Xi???nDn?E(X)
ii?1n且
?i21?M则：
n?i?11Xi???nP?E(X),(n??)
ii?1n1nP??? (2)若X1?Xn相互独立同分布，且E(Xi)??i则当n??时：?Xi?ni?13、中心极限定理
(1)独立同分布的中心极限定理：均值为?，方差为?2?0的独立同分布时，当n充分大时有：
(2)拉普拉斯定理：随机变量?n(n?1,2?)~B(n,p)则对任意x有： (3)近似计算：P(a??Xk?b)?P(a?n??k?1n?Xk?1nk?n??b?n?n?n?n?)??(b?n?n?)??(a?n?n?)
六、数理统计
1、总体和样本
总体X的分布函数F(x)样本(X1,X2?Xn)的联合分布为F(x1,x2?xn)??F(xk)
k?1n
2、统计量
(1)样本平均值：X?1n(3)样本标准差：S??i?1n1Xi (2)样本方差：S?n?12?1(Xi?X)?n?1i?12nn?(Xi?1ki,kn2i?nX)
21n?1?1(Xi?X) (4)样本k阶原点距：Ak?ni?12n?Xi?1?1,2?
(5)样本k阶中心距：Bk?Mk?1n?(Xi?1ni?X)k,k?2,3?
(6)次序统计量：设样本(X1,X2?Xn)的观察值(x1,x2?xn)，将x1,x2?xn按照由小到大的次序重新排列，得到x(1)?x(2)???x(n)，记取值为x(i)的样本分量为X(i)，则称
X(1)?X(2)???X(n)为样本(X1,X2?Xn)的次序统计量。X(1)?min(X1,X2?Xn)为最小次序统计
量；X(n)?max(X1,X2?Xn)为最大次序统计量。 3、三大抽样分布
(1)?2分布：设随机变量X1,X2?Xn相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1)，则随机变量?2?X12?X22??Xn2所服从的分布称为自由度为n的?2分布，记为?2~?2(n) 性质：①E[?2(n)]?n,D[?2(n)]?2n②设X~?2(m),Y~?2(n)且相互独立，则X?Y~?2(m?n) (2)t分布：设随机变量X~N(0,1),Y~?2(n)，且X与Y独立，则随机变量：T?从的分布称为自由度的n的t分布，记为T~t(n) 性质：①E[t(n)]?0,D[t(n)]?1ne,(n?2)②limt(n)?N(0,1)?n??n?22??(x??)22?2XYn所服
n1Vn2(3)F分布：设随机变量U~?2(n1),V~?2(n2)，且U与V独立，则随机变量F(n1,n2)?U服从的分布称为自由度(n1,n2)的F分布，记为F~F(n1,n2) 性质：设X~F(m,n)，则
1~F(n,m) X所
七、参数估计
1、参数估计
(1) 定义：用?(X1,X2,?Xn)估计总体参数?，称?(X1,X2,?Xn)为?的估计量，相应的
?(X1,X2,?Xn)为总体?的估计值。
???(2) 当总体是正态分布时，未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值
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