2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷
数学（理科）
有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A?x|x2?2x?3?0，B??x|?2?x?2?，则A一．选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只
??B?( )
（A）??2,?1? （B）??1,2? （C）??1,1? （D）?1,2?
?1?i?2．2?1?i?3?( ) （A）1?i （B）1?i （C）?1?i （D）?1?i
3．设函数f?x?，g?x?的定义域都为R，且f?x?是奇函数，g?x?是偶函数，则下列结论正确的是( ) （A）f?x?g?x?是偶函数 （B）|f?x?|g?x?是奇函数 （C）f?x?|g?x?|是奇函数 （D）|f?x?g?x?|是奇函数
4．已知F是双曲线C：x?my?3m?m?0?的一个焦点，则点F到C的一条渐近线
22的距离为（ ） （A）3 （B）3 （C）3m （D）3m
5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参
1357 （B） （C） （D） 8888 6．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，
加公益活动的概率( ) （A）
垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f?x?，则
y?f?x?在?0,??上的图像大致为( )
7．执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M?（ ）
（A）
2016715 （B） （C） （D） 3528
8．设???0,（A）3????????2??，???0,????2??，且tan??1?sin?，则（ ）
cos??2 （B）3?????2 （C）2?????2 （D）2?????2 ?x?y?19．不等式组?的解集记为D，有下面四个命题：p1： ??x,y??D,x?2y??2，
x?2y?4?p2：??x,y??D,x?2y?2，p3：??x,y??D,x?2y?3，p4：??x,y??D,x?2y??1。
其中真命题是 ( ) （A）p2和p3 （B）p1和p4 （C）p1和p2 （D）p1和p3
10．已知抛物线C：y?8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP?4FQ，则|QF|? ( )（A）72 （B）52 （C）3 （D）2
11．已知函数f?x??ax3?3x2?1，若f?x?存在唯一的零点x0，且x0?0，则a的取值范围为（ ）
（A）?2,??? （B）???,?2? （C）?1,??? （D）???,?1? 12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某
多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为( ) （A）62 （B）42 （C）6 （D）4
2二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。
13．?x?y??x?y?的展开式中xy的系数为______。（用数字填写答案）
278 14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一个城市。由此可判断乙去过的城市为________。
15．已知A,B,C是圆O上三点，若AO?1 AB?AC，则AB与AC的夹角为______。
2?? 16．已知a,b,c分别为?ABC的三个内角A,B,C的对边，a?2，且
?2?b??sinA?sinB???c?b?sinC，则?ABC面积的最大值为______。
三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
a1?1，an?0，anan?1??Sn?1， 17．（本小题满分12分）已知数列?an?的前n项和为Sn，
其中?为常数。⑴证明：an?2?an??；⑵是否存在?，使得?an?为等差数列？并说明理由。
18．（本小题满分12分）从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图。⑴求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差
s2（同一组数据用该区间的中点值作代
表）；⑵由频率分布直方图可以认为，这
2种产品的质量指标值Z服从正态分布N(?,?)，其中?近似为样本平均数x，?近似为样
2本方差s2。①利用该正态分布，求P(187.8?Z?212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值为于区间?187.8,212.2?的产品件数，利用①的结果，求EX。 （附：150?12.2。若ZN??,?2?，则
P?????Z??????0.6826，P???2??Z???2???0.9544）
19．（本小题满分12分）如图三棱锥
ABC?A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?B1C。?CBB1?600，⑴证明：AC?AB1；⑵若AC?AB1，
AB?BC，求二面角A?A1B1?C1的余弦值。
x2y2 20．（本小题满分12分) 已知点A?0,?2?，椭圆E：2?2?1?a?b?0?的离心率为
ab233，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点。⑴求E的方程；⑵设过点
32A的直线l与E相交于P,Q两点，当?OPQ的面积最大时，求l的方程。
bex?1 21．（本小题满分12分）设函数f?x??aelnx?，曲线y?f?x?在点?1,f?1??处
xx的切线为y?e?x?1??2。⑴求a,b；⑵证明：f?x??1。 请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一部分，做答时请写清题号。 22．（本小题满分10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB?CE。⑴证明：?D??E；⑵设AD不是⊙O的直径，
AD的中点为M，且MB?MC，证明：?ADE为等边三角形。
?x?2?tx2y2??1，直线l：? 23．（本小题满分10分）已知曲线C：（t为参数）。49?y?2?2t⑴写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；⑵过曲线C上任一点P作与l夹角为30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值。
24．（本小题满分10分）若a?0,b?0，且否存在a,b，使得2a?3b?6？并说明理由。
011??ab。⑴求a3?b3的最小值；⑵是ab2014年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答
一．ADCAD CDCBB CB
0二．13．?20；14．A；15．90；16．3 17．解：⑴由题anan?1??Sn?1，an?1an?2??Sn?1?1，故an?1?an?2?an???an?1。因
an?1?0，故an?2?an??；
⑵由题1?a2???1?1，故a2???1。由⑴得a3?1??，令2a2?a1?a3，解得??4。故an?2?an?4，由此可得?a2n?1?是首项为1，公差为4的等差数列，a2n?1?4n?3；?a2n?是首项为3，公差为4的等差数列，a2n?1?4n?1。所以an?2n?1，an?1?an?2。因此存在??4，使得数列?an?为等差数列。
18．解：⑴抽取产品的质量指标值的样本平均数x?170?0.02?180?0.09?190?0.22?
200?0.33?210?0.24?220?0.08?230?0.02?200，样本方差s2???30??0.02?
2??20?2?0.09???10??0.22?0?0.33?102?0.24?202?0.08?302?0.02?150；
2⑵①由⑴知ZN?200,150?，故P?187.8?Z?212.2??P?200?12.2?Z?
200?12.2??0.6826；②由①知，一件产品的质量指标值位于区间?187.8,212.2?的概率为0.6826，依题知X
B?100,0.6826?，故EX?100?0.6826?68.26。
19．解：⑴连接BC1时，交B1C于O，连接AO。因侧面BB1C1C为菱形，故B1C?BC1，且O为B1C及BC1的中点。又AB?B1C，故B1C?平面ABO。由于AO?平面ABO，故B1C?AO。又B1O?CO，故AC?AB1；
⑵因AC?AB1，且O为B1C的中点，故
zAA1AO?CO。又AB?BC，故?BOA??BOC，
COBB1yx得OA?OB，从而OA,OB,OB1两两互相垂直。
C1|OB|为OB的方向为x轴正方向，以O为原点，
单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
O?xyz。因?CBB1?600，故?CBB1为正三角形。又AB?BC，故A0,0,33，
??????3?3?33?3?B?1,0,0?，B1??0,3,0??，C??0,?3,0??，AB1???0,3,?3??，A1B1???1,0,?3??，
??????????3??n?AB1?0AAB。设是平面的法向量，则，即B1C1?BC???1,?,0n?x,y,z????11??3????n?A1B1?0???3y?3z?0?m?B1C1?0ABCmn?1,3,3，故可取。设是平面的法向量，则，??111???3x?3z?0?m?A1B1?0??同理可取m?1,?3,3。故cosm,n???1m?n1?。所以所求二面角的余弦值为。
7|m||n|720．解：⑴设F?c,0?，由题
c3223?b2?a2?c2?1。，故c?3。又?，故a?2，
a2c3x2?y2?1； 从而E的方程为4⑵显然直线l的斜率存在，故可设l：y?kx?2，P?x1,y1?，Q?x2,y2?。将y?kx?2代入E的方程可得1?4k?2?x2?16kx?12?0。当??16?4k2?3??0即k2?34时，
8k?24k2?34k2?1?4k2?32x1,2?，从而|PQ|?k?1|x1?x2|?。又点O到直线24k?14k2?1
14年高考真题 - 理科数学（新课标I卷）
