当n=1时，s= ， ∴a= = ．
（2）解：解法一：∵OP=AP，PA⊥OP， ∴△OPA是等腰直角三角形． ∴m=n= ． ∴1+ = ?an． 即n4﹣4n2+4=0， ∴k2﹣4k+4=0， ∴k=2．
解法二：∵OP=AP，PA⊥OP， ∴△OPA是等腰直角三角形． ∴m=n．
设△OPQ的面积为s1
则：s1= ∴ ?mn= （1+ ）， 即：n4﹣4n2+4=0， ∴k2﹣4k+4=0， ∴k=2．
（3）解：解法一：∵PA⊥OP，PQ⊥OA， ∴△OPQ∽△OAP．
设：△OPQ的面积为s1 ， 则 =
即： 化简得：
=
化简得：
2n4+2k2﹣kn4﹣4k=0 （k﹣2）（2k﹣n4）=0， ∴k=2或k= （舍去）， ∴当n是小于20的整数时，k=2．
∵OP2=n2+m2=n2+ 又m＞0，k=2， ∴n是大于0且小于20的整数． 当n=1时，OP2=5， 当n=2时，OP2=5，
当n=3时，OP2=32+ =9+ = ， 当n是大于3且小于20的整数时， 即当n=4、5、6…19时，OP2的值分别是： 42+ 、52+ 、62+ …192+ ∵192+
＞182+
，
＞32+ ＞5，
∴OP2的最小值是5．
【解析】【分析】（1）利用△OPA面积定义构建关于a的方程，求出A的坐标；（2）由已知OP=AP，PA⊥OP，可得△OPA是等腰直角三角形， 由其面积构建关于n的方程，转化为k的方程，求出k;（3）利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构建关于k的方程，最值问题的基本解决方法就是函数思想，利用勾股定理用m、n的代数式表达OP2,,在n的范围内求出OP2的最值.
5．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（﹣ 2，﹣ 2），（
，
），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．
（1）若点 P（2，b）是反比例函数 例函数解析式； （2）⊙O的半径是
，
①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；
(n为常数，n≠0)的图象上的梦之点，求这个反比
②已知点M（m，3），点Q是（1）中反比例函数 MN⊥l ， 求出m的取值范围．
【答案】 （1）解：∵P（2，b）是梦之点，∴b=2 ∴P（2，2） 将P（2，2）代入 ∴反比例函数解析式是
中得n=4
图象上异于点P的梦之点，过点
Q的直线l与y轴交于点A，∠OAQ＝45°．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或
（2）解：①设⊙O上梦之点坐标是（ ， ）∴ =1或 =-1
∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1） ②由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2） 由已知MN∥l或MN⊥l
∴
∴直线MN为y=-x+b或y=x+b 当MN为y=-x+b时，m=b-3
由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时， 且切点在第四象限时，b取得最小值， 此时MN记为
，
其中 为切点， 为直线与y轴的交点 ∵△O 为等要直角三角形， ∴O = ∴O =2
∴b的最小值是-2， ∴m的最小值是-5
当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时， b取得最大值，此时MN记为 其中 为切点， 为直线
，
与y轴的交点。
同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1． ∴m的取值范围为-5≤m≤-1． 当直线MN为y=x+b时，
同理可得，m的取值范围为1≤m≤5， 综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5
【解析】【分析】（1）由“ 梦之点 ”的定义可得出b的值，就可得出点P的坐标，再将点P的坐标代入函数解析式，求出n的值，即可得出反比例函数的解析式。
（2） ①设⊙O上梦之点坐标是（a，a ）根据已知圆的半径，利用勾股定理建立关于a的方程，求出方程的解，就可得出 ⊙O上的所有梦之点的坐标 ； ② 由（1）知，异于点P的梦之点Q的坐标为（-2，-2） ，由已知 直线MN∥l或MN⊥l ， 就可得出直线MN的解析式为y=-x+b或y=x+b。分两种情况讨论： 当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时， 且切点在第四象限时，b取得最小值， 当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第二象限时，b的最大值为2，m的最大值为-1，就可得出m的取值范围， 当直线MN为y=x+b时， 同理可得出m的取值范围。
6．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在x轴负半轴上，顶点 在 轴正半轴上，顶点B在第一象限，线段
，
．
，
的长是一元二次方程
的两根，
（1）直接写出点 的坐标________点 C的坐标________； （2）若反比例函数 （3）如图过点 作 不存在，请说明理由．
的图象经过点 ，求k的值；
轴于点 ；在 轴上是否存在点 ，使以 ， ， 为顶点的
三角形与以 ， ， 为顶点的三角形相似?若存在，直接写出满足条件的点 的坐标；若
【答案】 （1）
；
，垂足为 ，
（2）解：如图，过点 作
∵ ∴ 设 ∵
∴EC=12-x， 在RtΔBEC中， ∴ 整理得： 解得： ∴ ∴ 把
， ， 代入
，得
， ，
（不合题意舍去），
，
，
， ，
=12， ，
（3）解：存在． 如图2，
人教历年中考数学易错题汇编-反比例函数练习题含答案
