一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,点P(x,y1)与Q(x,y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点.当a≤x≤b时,有﹣1≤y1﹣y2≤1成立,则称这两个函数在a≤x≤b上是“相邻函数”,否则称它们在a≤x≤b上是“非相邻函数”.例如,点P(x,y1)与Q (x,y2)分别是两个函数y=3x+1与y=2x﹣1图象上的任一点,当﹣3≤x≤﹣1时,y1﹣y2=(3x+1)﹣(2x﹣1)=x+2,通过构造函数y=x+2并研究它在﹣3≤x≤﹣1上的性质,得到该函数值的范围是﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1成立,因此这两个函数在﹣3≤x≤﹣1上是“相邻函数”.
(1)判断函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是否为“相邻函数”,并说明理由; (2)若函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,求a的取值范围;
(3)若函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,直接写出a的最大值与最小值. 【答案】(1)解:是“相邻函数”,
理由如下:y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1, ∵y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,
∴当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1, ∴﹣1≤y1﹣y2≤1,
即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”
(2)解:y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a, ∵y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1), ∴顶点坐标为:(1,a﹣1), 又∵抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,
∴当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a, ∵函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”, ∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即 ∴0≤a≤1
,
(3)解:y1﹣y2= ﹣(﹣2x+4)= +2x﹣4,构造函数y= +2x﹣4, ∵y= +2x﹣4
∴当x=1时,函数有最小值a﹣2, 当x=2时,函数有最大值 ,即a﹣2≤y≤ , ∵函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,
∴﹣1≤y1﹣y2≤1,即 ∴1≤a≤2;
∴a的最大值是2,a的最小值1
,
【解析】【分析】(1)y1﹣y2=(3x+2)﹣(2x+1)=x+1,构造函数y=x+1,因为y=x+1在﹣2≤x≤0,是随着x的增大而增大,所以当x=0时,函数有最大值1,当x=﹣2时,函数有最小值﹣1,即﹣1≤y≤1,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即函数y=3x+2与y=2x+1在﹣2≤x≤0上是“相邻函数”;(2)y1﹣y2=(x2﹣x)﹣(x﹣a)=x2﹣2x+a,构造函数y=x2﹣2x+a,因为y=x2﹣2x+a=(x﹣1)2+(a﹣1),所以顶点坐标为:(1,a﹣1),又抛物线y=x2﹣2x+a的开口向上,所以当x=1时,函数有最小值a﹣1,当x=0或x=2时,函数有最大值a,即a﹣1≤y≤a,因为函数y=x2﹣x与y=x﹣a在0≤x≤2上是“相邻函数”,所以﹣1≤y1﹣y2≤1,即0≤a≤1;(3)当x=1时,函数有最小值a﹣2,当x=2时,函数有最大值 ,因为函数y= 与y=﹣2x+4在1≤x≤2上是“相邻函数”,﹣1≤y1﹣y2≤1,即1≤a≤2,所以a的最大值是2,a的最小值1.
2.如图,已知点D在反比例函数y= 的图象上,过点D作x轴的平行线交y轴于点B(0,3).过点A(5,0)的直线y=kx+b与y轴于点C,且BD=OC,tan∠OAC= .
(1)求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式;
(2)连接CD,试判断线段AC与线段CD的关系,并说明理由;
(3)点E为x轴上点A右侧的一点,且AE=OC,连接BE交直线CA与点M,求∠BMC的
度数.
【答案】(1)解:∵A(5,0), ∴OA=5. ∵ ∴
, ,解得OC=2,
∴C(0,﹣2), ∴BD=OC=2,
∵B(0,3),BD∥x轴, ∴D(﹣2,3), ∴m=﹣2×3=﹣6, ∴
,
设直线AC关系式为y=kx+b, ∵过A(5,0),C(0,﹣2),
∴ ∴
∴BC=5=OA,
,解得 ;
,
(2)解:∵B(0,3),C(0,﹣2), 在△OAC和△BCD中
∴AC=CD,
∴△OAC≌△BCD(SAS), ∴∠OAC=∠BCD,
∴∠BCD+∠BCA=∠OAC+∠BCA=90°, ∴AC⊥CD;
(3)解:∠BMC=45°. 如图,连接AD,
∵AE=OC,BD=OC,AE=BD, ∴BD∥x轴,
∴四边形AEBD为平行四边形, ∴AD∥BM, ∴∠BMC=∠DAC, ∵△OAC≌△BCD, ∴AC=CD, ∵AC⊥CD,
∴△ACD为等腰直角三角形, ∴∠BMC=∠DAC=45°.
【解析】【分析】(1)由正切定义可求C坐标,进而由BD=OC求出D坐标,求出 反比例函数解析式;由A、C求出直线解析式;(2)由条件可判定△OAC≌△BCD,得出AC=CD,∠OAC=∠BCD,进而AC⊥CD;(3) 由已知可得AE=OC,BD=OC,得出AE=BD,再加平行得四边形AEBD为平行四边形,推出 △OAC≌△BCD,∴AC=CD,∵AC⊥CD,∴△ACD为等腰直角三角形,∴∠BMC=∠DAC=45°.
3.已知:如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y= 的图象交于点C(3,1)
(1)试确定上述比例函数和反比例函数的表达式;
(2)根据图象回答,在第一象限内,当x取何值时,反比例函数的值大于正比例函数的值?
(3)点D(m,n)是反比例函数图象上的一动点,其中0<m<3,过点C作直线AC⊥x轴于点A,交OD的延长线于点B;若点D是OB的中点,DE⊥x轴于点E,交OC于点F,试求四边形DFCB的面积.
【答案】(1)解:将点C(3,1)分别代入y= 和y=ax,得:k=3,a= , ∴反比例函数解析式为y= ,正比例函数解析式为y= x;
(2)解:观察图象可知,在第二象限内,当0<x<3时,反比例函数值大于正比例函数值;
(3)解:∵点D(m,n)是OB的中点,又在反比例函数y= 上,
∴OE= OA= ,点D( ,2), ∴点B(3,4),
又∵点F在正比例函数y= x图象上, ∴F( , ), ∴DF= 、BC=3、EA= ,
∴四边形DFCB的面积为 ×( +3)× = .
【解析】【分析】(1)利用待定系数法把C坐标代入解析式即可;(2)须数形结合,先找出交点,在交点的左侧与y轴之间,反比例函数值大于正比例函数值.(3)求出DF、BC、EA,代入梯形面积公式即可.
4.已知:O是坐标原点,P(m,n)(m>0)是函数y= (k>0)上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴交于点A(a,0)(a>m).设△OPA的面积为s,且s=1+ .
(1)当n=1时,求点A的坐标; (2)若OP=AP,求k的值;
(3)设n是小于20的整数,且k≠ ,求OP2的最小值. 【答案】(1)解:过点P作PQ⊥x轴于Q,则PQ=n,OQ=m,
人教历年中考数学易错题汇编-反比例函数练习题含答案



