考点15 基本不等式及其应用（2）
【知识框图】
【自主热身，归纳总结】
19
1、(2017苏北四市一模）已知正数a，b满足＋＝ab－5，则ab的最小值为________．
ab【答案】. 36
19
【解析】因为正数a，b满足＋＝ab－5，所以ab－5≥2
9
abab，当且仅当9a＝b时等号成
立，即ab－5ab－6≥0，解得ab≥6或ab≤－1(舍去)，因此ab≥36，从而(ab)min＝36. 114x9y2、(2015镇江期末） 已知正数x，y满足＋＝1，则＋的最小值为________．
xyx－1y－1
【答案】25
114x9y4x94x4
【解析】因为＝1－，所以＋＝＋＝＋9x＝4＋＋9(x－1)＋9＝13
yxx－1y－1x－11x－1x－1
1－
y44114＋＋9(x－1)＝13＋＋9(x－1)．又因为＝1－>0，所以x>1，同理y>1，所以13＋x－1x－1yxx－154x9y＋9(x－1)≥13＋24×9＝25，当且仅当x＝时取等号，所以＋的最小值为
3x－1y－125.
112
3、（2016苏州期末） 已知ab＝，a，b∈(0,1)，则＋的最小值为________．
41－a1－b42
【答案】. 4＋
3
【解析】思路分析 两元问题通常化为一元问题，先尝试消去一个变量．
1111218a1
由题意得b＝，所以0<<1，即a∈(，1)，消去b，得＋＝＋＝
4a4a41－a1－b1－a4a－11－a2
＋＋2. 4a－1
12421
解法1 若注意到4(1－a)＋(4a－1)＝3，记S＝＋，则S＝＋＝[(41－a4a－14－4a4a－13
－4a)＋(4a－1)](
4224－4a＋)＝2＋[＋4－4a4a－134a－14a－
4－4a]≥2＋
424－4a，当且仅当＝34a－1
a－
4－4a时等号成立，
42
所以最小值为4＋.
312
解法2 ＋＝
1－a4a－12x原式＝＝
－2x2＋9x－9
2a＋1－a2－2x－＋9
9
a－
，令2a＋1＝x，
x ≥
9－2
22x·
9
＝2＋
42
. 3
x以下同解法1.
4、(2016苏北四市期末） 已知正数a，b，c满足b＋c≥a，则＋1
【答案】. 2－
2
【解析】因为正数a，b，c满足b＋c≥a，所以＋1≥，
所以＋bc的最小值为________．
ca＋bbca2babba＋1≥＋，其中>0，>0， ccccccbcb1b1
＝＋≥＋，(*)
ca＋bcabc2b＋＋1ccc2bbt1
令t＝＋1(t>1)，则＝－，
cc22所以(*)可化为＋b1t11
＝－＋≥2c2b22t＋1ct111·－＝2－， 2t22
t1
当且仅当＝即t＝2时取等号，
2t于是＋
bc1bc1
≥2－，即＋的最小值为2－.
ca＋b2ca＋b2
accc5
5、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则＋－＋的最小值为________．
bab2c－2
【答案】. 10＋5
【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解．
a11aa＋b因为a＞0，b＞0，所以＋－＝＋bab2b4ab2
1aa2＋2ab＋b215ab5
－＝＋－＝＋≥，2b4ab24b4a2
当且仅当b＝5a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得1555
＋≥c＋. 2c－22c－2
又因为
accc5a1
＋－＋＝c＋－bab2c－2bab5555c＋＝(c－2)＋＋5≥10＋5，当且仅当c＝2＋2时等号成立． 2c－22c－2
所以＋accc5
－＋的最小值为10＋5. bab2c－2
解后反思 多变量函数的最值问题，通常需要消元．本题的关键是首先通过固定变量c(视a，
b为主元)，然后利用代换(齐次化)，配凑等技巧对代数式进行两次变形，为利用基本不等式创造了条件，并结合不等式的性质，巧妙地求得了最小值．
6、(2024通州、海门、启东期末）已知实数a>b>0，且a＋b＝2，则________． 3＋5【答案】
4
【解析】思路分析1 注意到问题中含有两个变量a，b，且满足a＋b＝2，因此可以考虑进行消元，将问题转化为只含有一个变量的问题来加以处理．
思路分析2 注意到所求的代数式的分子与分母分别为一次式、二次式，为此想到将它们转化为齐次式来加以处理，即将分子利用条件a＋b＝2，通过常数代换转化为二次式，进而将齐次式化为单变量的问题来加以处理．
思路分析3 注意到所求的代数式的分母可以因式分解为(a＋3b)(a－b)，因此，将a＋3b，a－b分别作为两个新的变量m，n，从而将问题转化为以新变量m，n的形式来加以处理．
3a－b
解析1(消元法)：因为a＋b＝2，所以0 3a－（2－a）2a－13a－b ＝，令t＝2a－1∈(1，3)，则＝ a2＋2a（2－a）－3（2－a）2－2（a2－4a＋3）a2＋2ab－3b2 3a－b 的最小值为a2＋2ab－3b2 2t ＝2 －t＋6t－5 25 6－（t＋） t 23＋5≥＝，当且仅当t＝5时等号成立． 46－25 解析2(化齐次式法)：因为a＋b＝2，所以 3a－b（a＋b）（3a－b）3 ＝＝＋ a2＋2ab－3b22（a2＋2ab－3b2）2 a 2（2－）b2（－ab＋2b2）3a ，令u＝2－，因为a＋b＝2，a>b>0，所以2－b>b>0，22＝＋ a＋2ab－3b2aab （）2＋2·－3bba2－b23a－b32u3 故0 bbba＋2ab－3b2u－6u＋522 5u＋－6 u 53a－b3 当u∈(0，1)时，u＋－6>0，此时2>； ua＋2ab－3b22 5?53a－b32? 当u<0时，u＋－6＝－?－u＋?－6≤－6－25，此时2≥＋＝ －u?ua＋2ab－3b22－6－25?3＋5 ，当且仅当u＝－5时等号成立． 4 3a－b3＋5 因此2的最小值为. a＋2ab－3b24 3a－b3a－b解析3(换元法)：因为2＝，令m＝a－b，n＝a＋3b，从而a a＋2ab－3b2（a－b）（a＋3b）＝ 3m＋nn－m3a－b3a－b5m＋n115 ，b＝，从而2＝＝(＋)，由a＋b＝2得2＝44a＋2ab－3b（a－b）（a＋3b）2mn2mn 15n5m m＋n＝4(m，n>0)，故由(m＋n)(＋)＝6＋＋≥6＋25，当且仅当n＝5m时等号成立，此 mnmn时 3a－b1153＋5 ＝(＋)≥. a2＋2ab－3b22mn4 【问题探究，变式训练】 题型一 运用基本不等式解决含参问题 知识点拨：对于不等式中的成立问题，通常采取通过参数分离后，转化为求最值问题， 例1、(2024扬州期末）已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________． 【答案】、(－∞，9] 【解析】、m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min. 解法1(消元法) 由x＋4y－xy＝0，得y＝ x ，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x－4 （x－4）· 4 ＋5＝9，x－4 x＋y＝x＋ xx－4＋444＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2x－4x－4x－4x－4 当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9. 41 解法2(“1”的代换) 因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋ xy?41?4yx y)·?＋?＝＋＋5≥2 ?xy?xy小值是9，故m≤9. 解法3(函数法) 令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝而t≥9.所以m≤9. 解后反思对于含有多个变量式的最值如何求？解法1用了最基本的方法一消元转化为一元变量，对于一元变量的求量值的方法就很多了，这里用了基本不等式法，解法2直接运用了不等式中的“1”的代换法的技巧，显得很方便．一般地，在条件与结论中分别含有mx＋ny以及 a x x >0，且x>0，则x>4，故t>4，从x－4 4yx ·＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最xy b ＋(m，n，a，b为正常数，x，y为正参数)形式的代数式时，要求相关的最值，利用两式相乘y来构造基本不等式的形式求最值是一种基本手段；解法3则采用了方程的思想，通过将问题转化为方程有解，进而转化为方程有解来解决，这种解法用来求二元函数的最值问题是非常有效的．这里的解法1是虽然是通法，但往往计算相对比较复杂，而解法2有一定的技巧，但求解比较方便．解法3则比较通用，没有技巧，计算也不复杂．
2024年高考数学二轮提升专题训练考点15 基本不等式及其应用(2)（含答案解析）
