高中导数与函数知识点总结归纳
一、基本概念 1. 导数的定义：
设
x 0 是函数 y
f ( x) 定义域的一点，如果自变量
x 在 x0 处有增量
x ，则函数值 f (x)
在点
y 也引起相应的增量
y f ( x0
x) f ( x0 ) ；比值 lim
y
f ( x0x) f (x0 ) 称为函数 y x
x) f ( x0 )
存在，则称函数 y
x0 到 x0
x 之间的 平均变化
x
率；如果极限
y lim f ( x0
f ( x)
在点
x 0 处可导，并把这个极限叫做
x 0
x
x 0
x
y f (x) 在 x0 处的导数 。
f x 在点 x0
处的导数记作 y x x0f
( x0 ) lim f ( x0x) f ( x
x
0 )
x
0
2 导数的几何意义： （求函数在某点处的切线方程）
函数 y
f (x)
在点
x0 处的导数的几何意义就是曲线
y f ( x) 在点 ( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率，也就是说，曲线 y
f (x) 在点 P( x0 , f ( x)) 处的切线的斜率是
f ' ( x0 ) ，切线方程为 y y0 f ' (x)(x
x0 ).
3．基本常见函数的导数 :
① C 0; （ C为常数）
② xn nx n 1;
③ (sin x) cos x ;
④ (cos x) sin x ;
⑤ (ex )
ex ;
⑥ (a x)
ax ln a ;
1 1
⑦ ln x
;
⑧ l o ga x
log a e .
x
x
二、导数的运算
1. 导数的四则运算：
法则 1：两个函数的和 ( 或差 ) 的导数 , 等于这两个函数的导数的和
( 或差 ) ，
即：
f x g x
f x g x
法则 2：两个函数的积的导数 , 等于第一个函数的导数乘以第二个函数 , 加上第一个
函数乘以第二个函数的导数，即：
f x g x f x g x f x g x
常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：
(Cf ( x)) '
Cf ' ( x). ( C 为常数 )
法则 3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：
f x f x g x
f x g x
2
g x 0
。
g x
g x
2. 复合函数的导数
形如 y
f [ ( x)] 的函数称为 复合函数 。法则： f [ (x)] f ( )*
( x) .
三、导数的应用
1. 函数的单调性与导数
（1）设函数
'
如果
'
如果
y
f ( x) 在某个区间 (a,b) 可导，
f( x) 0 ，则 f ( x) 在此区间上为增函数；
f( x) 0 ，则 f ( x) 在此区间上为减函数。
（2）如果在某区间内 恒有
f
' ( x) 0 ，则 f ( x) 为常函数 。
2．函数的极点与极值：
①如果在
当函数 f (x) 在点 x0 处连续时，
②如果在
'
( x)
'x0 附近的左侧 f
＞ 0，右侧 f ( x) ＜0，那么 f ( x0 ) 是极大值； '
( x) ＜0，右侧 f ' ( x) ＞0，那么 f ( x0 ) 是极小值 .
x0 附近的左侧 f
3．函数的最值：
一 般 地 ， 在 区 间 [ a, b] 上 连 续 的 函 数
f (x) 在 [a,b] 上 必 有 最 大 值 与 最 小 值 。 函 数
值点处取得。
f ( x) 在区间 [ a,b]上的最值
只可能在区间端点及极
'
[ a,b]上最值 的一般步骤： ①求函数 f ( x) 的导数，令导数 ( x) f求函数 f ( x) 在区间 ②在区间 [ a, b] 列出 0 解出方程的跟
', xf (x), f (x) 的表格，求出极值及 f (a)、 f (b) 的值 ; ③比较端点及极值点处的函数值的大
小，从而得出函数的最值。
4．相关结论总结：
①可导的奇函数函数其导函数为偶函数
. .
②可导的偶函数函数其导函数为奇函数
四、函数的概念
1. 函数的概念
①设 A 、 B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则
f ，对于集合 A 中任何一个数 x ，在集合 B 中都有唯
一确定的数
f ( x) 和它对应， 那么这样的对应 （包括集合 A ， B 以及 A 到 B 的对应法则 f ）叫做集合 A 到 B
f : A
B ．
的一个函数，记作
②函数的三要素 : 定义域、值域和对应法则．
③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．
五、函数的性质 1. 函数的单调性
①定义及判定方法
函数的
定义
性 质
如果对于属于定义域
I 内某
图象 判定方法
（ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的
个区间上的任意两个自变量
的值 x1 、x2 , 当 x1 < x 2 时，都
．．．． 有 f(x 1) ．．．．．．．．． 在这个区间上是 增函数 ． y y=f(X) f(x ) 单调性 2 f(x) ．．． o f(x1 ) （ 3）利用函数图象（在 某个区间图 x1 x2 x 象上升为增） （ 4）利用复合函数 （ 1）利用定义 （ 2）利用已知函数的 单调性 函数的 单调性 如果对于属于定义域 I 内某 个区间上的任意两个自变量 y y=f(X) f(x ) 1 的值 x 1、 x2 ，当 x1 < x 2 时，都 ．．． f(x ) 2 （ 3）利用函数图象（在 有 f(x 1)>f(x 2 ) ， 那 么 就说 ．．．．．．．．． 在这个区间上是 减函数 ． 某个区间图 x 2 f(x) o x 1 x 象下降为减） （ 4）利用复合函数 ．．． ②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数， 减函数减去一个增函数为减函数． ③ 对于 复 合 函数 y f [ g (x)] ， 令 u g ( x) ，若 y f (u) 为 增 ， u g ( x) 为 增 ， 则 y y y y f [ g( x)] 为 增 ； 若 y f [ g( x)] 为增 ；若 y f (u) 为减， u f (u) 为 减 ， u f (u) 为增 ， u g (x) 为 减 ， 则 g( x) 为减，则 y f [ g( x)] 为减；若 o x g ( x) 为增，则 y x f [ g ( x)] 为减． （2）打“√”函数 f (x) a (a 0) 的图像与性质 x f (x) 分别在 ( , a ] 、 [ a, ) 上为增函数，分别在 [ a , 0) 、 (0, a ] 上为减函数． 2. 最大（小）值（较常用导数求函数最值，类比记忆函数的极值） ①一般地， 设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：（ 1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) M ； （ 2）存在 0 x I ，使得 f (x0 ) M ．那么，我们称 M 是函数 f (x) 的最大值，记作 fmax ( x) M ． ②一般地， 设函数 y f ( x) 的定义域为 I ，如果存在实数 m 满足：（1）对于任意的 x I ，都有 f ( x) m ； （ 2）存在 0 x I ，使得 f ( x0 ) m ．那么，我们称 m 是函数 f ( x) 的最小值，记作 f max ( x) m ． 3. 奇偶性 ①定义及判定方法 函数的 定义 图象 判定方法 性 质 如果对于函数 f(x) 定义域内 （ 1）利用定义（要先 判断定义域是否关于 原点对称） （ 2）利用图象（图象 关于原点对称） （ 1）利用定义（要先 任意一个 x，都有 f( －x)= － ．．．．．．． f(x) ,那么函数 f(x) 叫做奇函 ．．．． ．． 数． ． 函数的 奇偶性 如果对于函数 f(x) 定义域内 任意一个 x，都有 f( －x)= f(x) , ．．．．．．．．．． 那么函数 f(x) 判断定义域是否关于 原点对称） （ 2）利用图象（图象 关于 y 轴对称） 叫做偶函数 ． ．．． ②若函数 f (x) 为奇函数，且在 x 0 处有定义，则 f (0) 0． ③奇函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在 y 轴两侧相对称的区间增减性相反． ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数） 的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．
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