专题升级训练6 导数及其应用
(时间：60分钟 满分：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
132
1．(2024·浙江高考名校交流卷2,8)已知关于x的函数f(x)＝－x＋bx＋cx＋bc在x3
4
＝1处有极值－，则b，c的值是( )．
3
A．b＝1，c＝－1，或b＝－1，c＝3 B．b＝1，c＝－1 C．b＝－1，c＝3 D．b＝－1，c＝－1
32
2．已知函数f(x)＝x－3x＋2在区间[－1,1]上的最大值与最小值分别为M和m，则M－m＝( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．函数y＝f(x)的图象在点x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )．
1
A．1 B．2 C．0 D．
2
4．f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象最有可能是下图中的( )．
5．当x∈(0,5)时，函数y＝xln x( )． A．是单调增函数 B．是单调减函数
?1??1?C．在?0，?上单调递增，在?，5?上单调递减 ?e??e??1??1?D．在?0，?上单调递减，在?，5?上单调递增 ?e??e?
6．函数y＝xsin x＋cos x在下面哪个区间内是增函数( )． ?π3π?A．?，? B．(π，2π)
2??2
C．?
?3π，5π? D．(2π，3π)
?2??2
7．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)－f(x)≤0，对任意正数
a，b，若a＜b，则必有( )．
A．af(b)≤bf(a) B．bf(a)≤af(b) C．af(a)≤f(b) D．bf(b)≤f(a)
32
8．已知函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c，x∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：
3
①f(x)的解析式为f(x)＝x－4x，x∈[－2,2]； ②f(x)的极值点有且仅有一个；
③f(x)的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( )．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
9．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为
2
__________．(强度与bh成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)
32
10．函数f(x)＝x－3ax＋a(a＞0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是__________．
2
11．若点P是曲线y＝x－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小距离为__________．
12．函数f(x)＝x(0＜x＜1)的图象如图，M(t，f(t))处的切线为l，l与y轴和直线y＝1分别交于点P，Q，点N(0,1)，若△PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则b的取值范围为__________．
三、解答题(本大题共4小题，共44分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
2
13．(本小题满分10分)设x＝1与x＝2是函数f(x)＝aln x＋bx＋x的两个极值点． (1)试确定常数a和b的值；
(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．
322
14．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝4x＋3tx－6tx＋t－1，x∈R，其中t∈R. (1)当t＝1时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当t≠0时，求f(x)的单调区间．
2
15．(本小题满分12分)已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x＋ax－3. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t＞0)上的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞),2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；
12
(3)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x＞x－成立．
eex132
16．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x＋bx＋cx＋d，设曲线y＝f(x)在与x轴交点
3
处的切线为y＝4x－12，f′(x)为f(x)的导函数，满足f′(2－x)＝f′(x)．
(1)求f(x)；
(2)设g(x)＝xf′(x)，m＞0，求函数g(x)在[0，m]上的最大值；
(3)设h(x)＝lnf′(x)，若对一切x∈[0,1]，不等式h(x＋1－t)＜h(2x＋2)恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
一、选择题
f′(1)＝0，??
1．C 解析：由?4
f(1)＝－，?3?
??b＝1，
得?
?c＝－1，?
2
??b＝－1，
或?
?c＝3.?
当b＝1，c＝－1时，f′(x)＝－(x－1)≤0，
则函数f(x)无极值，与题意不符．
当b＝－1，c＝3时，符合题意，故选C.
2
2．D 解析：f′(x)＝3x－6x＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2(舍去)．
当x∈(－1,0)时，f(x)单调递增；当x∈(0,1)时，f(x)单调递减， ∴M＝f(x)max＝f(0)＝2. 又f(－1)＝－2，f(1)＝0， ∴m＝f(x)min＝－2.
综上，M－m＝2－(－2)＝4.故选D.
3．B 解析：由题意知f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1，故f(5)＋f′(5)＝2.故选B. 4．A 解析：根据导函数f′(x)的图象可知f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上单调递减，在(－2,0)上单调递增．故选A.
1
5．D 解析：y′＝ln x＋1，令y′＝0，得x＝. e
?1??1?在?0，?上y′＜0，在?，5?上y′＞0， ?e??e?
?1?∴y＝xln x在?0，?上单调递减， ?e?
?1?在?，5?上单调递增．故选D. ?e?
6．C 解析：∵y＝xsin x＋cos x，
∴y′＝(xsin x)′＋(cos x)′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x，
3π5π
∴当＜x＜时，xcos x＞0，即y′＞0.
22
?3π5π?故函数y＝xsin x＋cos x在区间?，?内是增函数．故选C.
2??2
f(x)xf′(x)－f(x)
7．A 解析：设F(x)＝，则F′(x)＝≤0， 2
xxf(x)
为减函数． xf(a)f(b)
由0＜a＜b，有≥?af(b)≤bf(a)，故选A.
ab2
8．C 解析：∵f(0)＝0，∴c＝0.∵f′(x)＝3x＋2ax＋b， ???f′(1)＝1，?3＋2a＋b＝－1，
故F(x)＝∴?
??f′(－1)＝－1，
即?
??3－2a＋b＝－1，
解得a＝0，b＝－4，
32
∴f(x)＝x－4x，∴f′(x)＝3x－4.
23
令f′(x)＝0得x＝±∈[－2,2]，∴极值点有两个．
3
∵f(x)为奇函数，∴f(x)max＋f(x)min＝0. ∴①③正确，故选C.
浙江省2024年高考数学第二轮复习 专题升级训练6 导数及其应用 文
