青岛市第二中学2024届高三数学上学期期中试卷
满分：150分 时间：120分钟
一、选择题（本大题共13小题，每小题4分，共52分．在每小题给出的选项中，第1至10题，只有一项是符合题目要求的；第11至13题，有多项符合要求，全部选对得4分，选对但不全得2分，有选错的得0分）
1. 设集合A?{x?1?2x?1?3},B?{xy?log2x}，则AIA.
B= ( )
[0,1]
B.[?1,0] C.[?1,0) D.
(0,1]
2．若复数z满足A.1
?1?2i?z?3?4i，则z的实部为( )
C.2 D. ?2
B. ?1
3. 已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a3?a7?8,S7?35，则a2?( ) A.5
4. 命题为“?x?B.6
C.7 D.8
?1,2?,2x2?a?0”为真命题的一个充分不必要条件是( )
B. a?2
C. a?3
D.a?4
A. a?1
ex?1e5．函数f?x??x（其中为自然对数的底数）的图像大致为( )
x?1?e?
rrrr
6. 若非零向量a,b 满足a=brrrrr，向量2a+b与b垂直，则a与b的夹角为( )
A．150o B．120o C．60o D．30o
x2y27．如图，双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右顶点为A，
ab右焦点为F，点B在双曲线的右支上，矩形OFBD与矩形AEGF
相似，且矩形OFBD与矩形AEGF的面积之比为
2:1 ，则该双曲线的离心率为( )
A.2 B.1?2 C.2?2 D.22 8． 已知定义在R上的函数
f(x)满足
f??x??f?x?,f?x?1??f?1?x?，且当x??0,1?时，f?x??log2?x?1?，则
f?2024?? ( )
A. ?1 B. 0 C. 1 D.2
1
9.已知函数f(x)?asinx?3cosx的图像的一条对称轴为直线x?5?，且6f(x1)?f(x2)??4，则x1?x2的最小值为( )
A. ??3 B. 0 C.
2?? D.
3310．记Sn为正项等比数列{an}的前n项和，若满足a1ama2n?2a5， 则
3S12?S6S?S3?7?6?8?0，且正整数m,n S6S318?的最小值是（ ） mnA．
59157 B． C． D．
535711.（多选题）如图，设?ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，3(acosC?ccosA)?2bsinB，且
?CAB??3 .若点D是?ABC外一点， DC?1,DA?3 ，
下列说法中，正确的命题是（ ） A．?ABC的内角B??3 B．?ABC的内角C??3
C．四边形ABCD面积的最大值为D．四边形ABCD面积无最大值
53+3 212. （多选题）下列说法中，正确的命题是（ ） A．已知随机变量?服从正态分布N(2，?),P2???4??0.84，则P?2???4??0.16.
kxB．以模型y?ce去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z?lny，将其变换后得到线
性方程z?0.3x?4，则c,k的值分别是e4和0.3 .
C．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y?a?bx，若b?2，x?1,y?3，则a?1.
D．若样本数据x1，x2，…，x10的方差为2，则数据2x1?1，2x2?1，…，2x10?1的方差为16.
ax2?lnax(a?0)，若f(x)有4个零点，则a的可能取13. （多选题） 设函数f(x)?2e值有( ) A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上） 14. 若cos27?a ,则o2?cos72o?cos18o?的值为_______.(用a表示)
2
uuruuuruuurruuuruuur15．在△ABC中，BC?1，其外接圆圆心O满足OA?OB?OC?0，则AB?AC
= .
16．已知三棱锥P?ABC的各顶点都在同一球面上，且PA?平面ABC，若该棱锥的体积为1 ,AB?2,AC?1,?BAC?60,则此球的表面积=_________. 17.已知函数y?为
of?x?在R上的图像是连续不断的一条曲线，并且关于原点对称，其导函数
f??x?，当x?0时，有不等式x2f??x???2xf?x?成立，若对?x?R，不等式
e2xf(ex)?a2x2f(ax)?0 恒成立，则正数a的最大值为_______.
三、解答题（本大题共6小题，共82分．解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 18．（本小题满分12分）
如图，在平面四边形ABCD 中，AB?uuuruuur3补，AD?CD?.
23?1，BC?3?1，CA?3，且?B与?D互
（Ⅰ）求VACD 的面积；
（Ⅱ）求VACD的周长.
19.（本小题满分14分）
如图，四棱锥P?ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD?平面ABCD ，四边形ABCD是平行四边形,AD?2,BD?23,?BAD?.
3
（Ⅰ）求证：BD?PD；
（Ⅱ）求二面角P?BC?D的余弦值.
20.（本小题满分14分）
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1?a2?0，S5?15，数列{bn}满足：b1?a2，且nbn?1?(an?2)bn?a3n?1bn . （Ⅰ）求数列?an?和?bn?的通项公式； （Ⅱ）若cn?
?1，求数列?cn?的前n项和Tn．
(an+5)?log2bn?1 3
21. （本小题满分14分）
x2y23已知椭圆C1:2?2?1?a?b?0?的离心率为,P(?2,1)是椭圆C1上一点．
2ab（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点,平行于AB的直线l 与椭圆C1相交于不同于P、Q的两点C、D,点C关于原点的对称点为E. 证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．
22. （本小题满分14分）
某游戏公司对今年新开发的一些游戏进行评测，为了了解玩家对游戏的体验感，研究人员随
机调查了300名玩家，对他们的游戏体验感进行测评，并将所得数据统计如图所示，其中a?b?0.016.
（Ⅰ）求这300名玩家测评分数的平均数；
（Ⅱ）由于该公司近年来生产的游戏体验感较差，公司计划聘请3位游戏专家对游戏进行初测，如果3人中有2人或3人认为游戏需要改进，则公司将回收该款游戏进行改进；若3人中仅1人认为游戏需要改进，则公司将另外聘请2位专家二测，二测时，2人中至少有1人认为游戏需要改进的话，公司则将对该款游戏进行回收改进.已知该公司每款游戏被每位专家认为需要改进的概率为
p?0?p?1?，且每款游戏之间改进与否相互独立.
（i）对该公司的任意一款游戏进行检测，求该款游戏需要改进的概率；
（ii）每款游戏聘请专家测试的费用均为300元/人，今年所有游戏的研发总费用为50万元，现对该公司今年研发的600款游戏都进行检测，假设公司的预算为110万元，判断这600款游戏所需的最高费用是否超过预算，并通过计算说明．(以聘请专家费用的期望为决策依据)
23．（本小题满分14分）
ex已知函数f?x??，其中a?0，b?R，e为自然对数的底数. 2ax?bx?1（Ⅰ）若b?1，且当x?0时，（Ⅱ）若b?0，且
f?x??1总成立，求实数a的取值范围；
3?f?x1??f?x2??e. 2af?x?存在两个极值点x1，x2，求证：1? 4
答案解析
答案：1~10. DBCAA BCBDA 11. ABC 12.BC 13.BCD 14.2a 15.
1 16.16? 17.e 2AB2?BC2?AC2118. 【解析】（Ⅰ）在VABC中，由余弦定理得cos?ABC???.
2AB?BC4所以sin?ABC?154. 因为角D与角B互补， 所以sin?ADC?sin?ABC?154，cos?ADC??cos?ABC?14.
又uADuuv?uCDuuv?32，
所以uADuuv?uCDuuv?uADuuv?uCDuuv?cos?ADC?3uuuvuuuv2，即AD?CD?6，
所以S1uV2ADuuv?uCDuuv?sin?ADC?315ACD?4. （Ⅱ）在VACD中，由余弦定理得AC2?AD2?CD2?2AD?CDcos?ADC， 所以AD2?CD2?AC2?2AD?CDcos?ADC?12， 所以AD?CD?26，
所以VACD的周长为AD?CD?AC?26?3.
19. 【解析】（Ⅰ）证明：在?ABD中，AD?2,BD?23,?BAD??3
?AD?BD
又平面PAD?平面ABCD
平面PAD?平面ABCD=AD，BD?面ABCD
?BD?平面PAD，
又PD?面PAD?BD?PD （Ⅱ）如图，作PO?AD于点O， 则PO?平面ABCD
过点O作OE?BC于点E，连接PE，
5
青岛市第二中学2024届高三数学上学期期中试卷附答案解析
