右降 ) ；当 k＜ 0 ，双曲 在二、四象限
( 在每一象限内，从左向右上升 ) ．因此，它的增减性与一次函数
相反．
11、 初步 ：（ 1）概念 ：①所要考察的 象的全体叫做
体 ，其中每一个考察 象叫做 个体． 从 体
中抽取的一部份个体叫做 体的一个
本， 本中个体的数目叫做 本容量．② 在一 数据中，出 次数
最多的数 ( 有 不止一个
) ，叫做 数据的 众数 ．③将一 数据按大小 序排列，把 在最中 的一个数
( 或两个数的平均数 ) 叫做 数据的
中位数．
（ 2）公式： 有 n 个数 x1， x2，?， xn，那么：
①平均数 ： x =
x1 + x2 + ......+ xn ；
n
用 种方法得到的差称 极差，
即：
②极差：
用一 数据的最大 减去最小 所得的差来反映 数据的 化范 ， 极差 =最大 - 最小 ； ③方差：
数据 x 、 x ?? ,
12
x 的方差 s ， s =
n
22
1 轾
n 臌
(
犏x 1
-
x
)
2
2
+
(
x 2
-
x
2
)
2
+
.....
+
(
x n -
x
)
2
准差：方差的算 平方根 .
2
数据 x1、 x2 ?? ,
xn 的 准差 s ， s=
1 轾
犏x 1
(
- x
)
+
( x 2 - x)
+ ..... +
( x n -
x
)
n 臌
一 数据的方差越大， 数据的波 越大，越不 定。 12、 率与概率： （ 1） 率 =
频数
，各小 的 数之和等于 数，各小 的 率之和等于 1， 率分布直方 中各个小
总数
方形的面 各 率。 （ 2）概率
①如果用 P 表示一个事件 A 生的概率，
0≤P（ A ）≤1；
P（必然事件）
=1； P（不可能事件） =0；
②在具体情境中了解概率的意 ，运用列 法（包括列表、画 状 ） 算 事件 生的概率。 ③大量的重复 率可 事件 生概率的估 ；
13、 角三角函数 ：
A的正弦： sinA＝
，∠ A的余弦： cosA＝
，∠ A的
① ∠ A是 Rt△ ABC 的任一 角， ∠
正切： tanA＝
．并且 sin2A＋cos2A＝ 1．
0＜ sinA＜ 1， 0＜ cosA＜ 1， tanA＞ 0．∠ A越大，∠ A的正弦和正切 越大，余弦 反而越小．
② 余角公式 ： sin( 90o－ A) ＝ cosA， cos( 90o－ A) ＝ sinA．
③ 特殊角的三角函数 ： sin30o＝ cos60o＝ ，sin45o＝cos45o＝ ＝ 1， tan60o＝．
，sin60o＝ cos30o＝
， tan30o＝
，tan45o
铅垂高度
水平宽度
＝ ． 坡角 α，
h
α
l
④ 斜坡的坡度： i ＝
i＝ tanα＝ ．
2
14、平面直角坐标系中的有关知识：
（ 1）对称性：若直角坐标系内一点 P（ a，b），则 P 关于 x 轴对称的点为 P1（ a，－b），P 关于 y 轴对称的点为 P2（ －a，b），关于原点对称的点为 P3（ －a，－b） .
（ 2）坐标平移：若直角坐标系内一点 P（ a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（ a－h， b），向右平移 h 个单位，坐标变为 P（ a＋h，b）；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（ a， b＋h），向下平移 h 个单位，坐标变为 P（ a，b－ h）.如：点 A（ 2，－ 1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5 个单位，则坐标变为 A （ 7，1）. 15、二次函数的有关知识： 1. y ax
定义：一般地，如果 2
bx
c(a,b,c
a 0)
是常数，
y
，那么
叫做 x 的二次函数
.
2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当
a 0 时，开口向上；当 a 0 时，开口向下；
a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.
②平行于 y 轴（或重合）的直线记作 几种特殊的二次函数的图像特征如下：
x h .特别地， y 轴记作直线 x
0 .
函数解析式
开口方向
对称轴 顶点坐标
（ 0,0） (0,
y ax 2 y ax2
x x
0 （ y 轴） 0 （ y 轴）
当 a
0 时
k
2
开口向上
k )
y a x y a x y ax 2
h h 2 bx
当 a
0时
x
h h
b
( h ,0)
k c
开口向下
x
x
( h , k )
2a
(
b 2a
，
4ac b 2
)
b
2
4a
4.求抛物线的顶点、对称轴的方法
2
（ 1）公式法： y
ax
bx c a
x
4ac
b
2
，∴顶点是（
b 2a
，
4ac b
2
），对称轴是直
2a
4a
4a
线 x
. 2a
b
（ 2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y a x
h 2 k 的形式，得到顶点为 ( h , k )，
对称轴是直线
x
h .
（ 3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。
x1 x2
2
若已知抛物线上两点 (x1, y)、(x2 , y) （及 y 值相同），则对称轴方程可以表示为： x
9.抛物线 y
ax 2
bx c 中， a,b, c 的作用
y
（ 1） a 决定开口方向及开口大小，这与 （ 2） b 和 a 共同决定抛物线对称轴的位置
ax 2 中的 a 完全一样 .
ax 2 bx c 的对称轴是直线
0 （即 a 、 b 同号）时，对称轴在
.由于抛物线 y
y 轴；②
x
b 2a
，故：① b 0 时，对称轴为
b a
y 轴左侧；
3
③
b
0 （即 a 、 b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧 .
a
当 x ① c
（ 3） c 的大小决定抛物线 y ax 2
bx c 与 y 轴交点的位置 .
0时， y c ，∴抛物线 y
ax 2 bx c 与 y 轴有且只有一个交点（ 0， c ）：
b a
.
0 ，抛物线经过原点 ; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴；③ c
.如抛物线的对称轴在
0 ,与 y 轴交于负半轴 .
以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立
y 轴右侧，则 0 .
11.用待定系数法求二次函数的解析式
（ 1）一般式：
y
ax
2
bx c .
已知图像上三点或三对
x 、 的值，通常选择一般式
y
（ 2）顶点式： y
a x h 2
k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（ 3）交点式：已知图像与 12.直线与抛物线的交点
x 轴的交点坐标 x1 、 x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 .
（ 1） y 轴与抛物线 y ax 2 （ 2）抛物线与 x 轴的交点 二次函数 y ax bx c
2
bx c 得交点为 (0, c ).
0 .
的两个实数根 抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
ax 2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标
x1 、 x2 ，是对应一元二次方程
①有两个交点 (
0 ) 抛物线与 x 轴相交；
②有一个交点（顶点在 ③没有交点
(
x 轴上）( 0 ) 抛物线与 x 轴相切；
0 ) 抛物线与 x 轴相离 .
（ 3）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点
同（ 2）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐
标为 k ，则横坐标是 ax 2 bx
（ 4）一次函数 y
c k 的两个实数根 .
kx n k
0 的图像 l 与二次函数 y
ax2
bx c a
0 的图像 G 的交点，由方程
组
y kx n y ax2 bx
的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时
l 与 G 有两个交点 ; ②方
c
程组只有一组解时
l 与 G 只有一个交点；③方程组无解时
l 与 G 没有交点 .
bx c 与 x 轴两交点为 A x1，0 ， B x2，0 ，
（ 5）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线y ax 2
则 AB x1 x2
1、多边形内角和公式：
n边形的内角和等于 ( n－ 2) 180o（ n≥ 3， n是正整数），外角和等于 360o
2、平行线分线段成比例定理：
（ 1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。
如图： a∥ b∥ c，直线 l 1 与 l2 分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C
D
、 、
E
F ，则有
AB BC
DE EF
,
AB DE BC
,
EF DF
AC DF AC
（ 2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线） 如图：△ ABC 中，DE ∥ BC，DE 与 AB 、AC 相交与点 D、E，则有：
AD
，所得的对应线段成比例。
l 1 A
l 2 D
DB
A
AE ,AD EC AB
E
AE AC
DE,DB BC AB
EC AC
D
A
a b
D
E
4
B C
E
F
c
B
C
B
C
＊ 3、直角三角形中的射影定理： （1） CD 2
如图： Rt△ ABC 中，∠ ACB＝90o， CD ⊥ AB 于 D，则有：
C
AD BD （2） AC 2
AD AB （3） BC 2
BD AB
A
4、圆的有关性质 ： D B
（ 1）垂径定理 ：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：①经过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质．注：具备①，③时，弦
不能是直径．（ 2）两条 平行弦 所夹的弧相等．（ 3）圆心角 的度数等于它所对的弧的度数．（
4）一条弧
所对的 圆周角 等于它所对的圆心角的一半．（
5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半．（ 6）同弧或等弧
所对的圆周角相等．（ 7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
（ 8）90o的圆周角所对的弦是直
径，反之，直径所对的圆周角是
90o，直径是最长的弦．（ 9）圆内接四边形 的对角互补．
内心 ．三角形的内心就是三内角角平分线
5、三角形的内心与外心： 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的
的交点．三角形的外接圆的圆心叫做三角形的 常见结论：（ 1） Rt△ABC 的三条边分别为： a
外心．三角形的外心就是三边中垂线的交点．
、
b 、 c（ c 为斜边），则它的内切圆的半径
r
a b c
2
；
（ 2）△ ABC 的周长为 l ，面积为 S，其内切圆的半径为
r ，则 S
1 lr
2
＊ 6、弦切角定理及其推论：
（ 1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：∠ PAC 为弦切角。 （ 2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。
如果 AC 是⊙ O 的弦， PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，则
PAC
1 ? 2
AC
1 2
AOC
A
B
O
P
C
推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果 AC 是⊙ O 的弦， PA 是⊙ O 的切线， A 为切点，则
PAC
ABC
＊ 7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：
相交弦定理：圆内的两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等。 如图①，即： PA·PB = PC·PD
割线定理 ：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。
如图②，即： PA·PB = PC·PD
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。如
图③，即： PC2 = PA·PB
C O
A
C
PB
D
CDOP
B
O
B
A
P
A
5
(完整word版)初中数学复习资料大全(值得收藏).docx
