十年高考真题分类汇编（2010—2024）数学
专题12圆锥曲线
1.(2024·全国·理T 10文T 12)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为( )
x22
A.2+y=1
x2B.3x2
y2
+2=1 y2
C.4+3=1 【答案】B
x2y2
D.5+4=1
【解析】如图,由已知可设|F2B|=n,|BF1|=m. 由|AB|=|BF1|,则|AF2|=m-n,|AB|=m. 又|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|,故|AF1|=2n. 由椭圆的定义及|AF2|=2|F2B|, m=2,m-n=2n,
得{解得{ am+n=2a,n=.
23a
∴|AF1|=a,|AF2|=a.∴点A为(0,-b). ∴kAF2=1=b.
过点B作x轴的垂线,垂足为点P.由题意可知△OAF2∽△PBF2. 又|AF2|=2|F2B|,∴|OF2|=2|F2P|. ∴|F2P|=2. 又kAF2=把点
|BP|
|F2P|1b
=
|BP|12=b,∴|BP|=2b.∴点B(2,2b).
中,得a=3.
2
131
x2y2
B坐标代入椭圆方程2+2=1ab
2
又c=1,故b
x2
=2.所以椭圆方程为
3y2
+=1. 2??2??2
?2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为??2??
2.(2024·全国1·文T 10)双曲线C: ( ) A.2sin 40° C.??????50° 【答案】D
1
130°,则C的离心率为
B.2cos 40° D.??????50° 1
1
【解析】由已知可得-=tan 130°=-tan 50°, 则
??e=????
=√1+(??)=√1+??????250° ??????50°??????50°1
. ??????50°2??????????250°??????250°+??????250°
√√=1+2==2故选D.
??22
3.(2024·北京·文T 5)已知双曲线??2-y=1(a>0)的离心率是√5,则
a=( )
A.√6 【答案】D
B.4 C.2 D.
12
【解析】∵双曲线的离心率e=??=√5,c=√??2+1, ∴
√??2+1??
??
=√5,【解析】得a=,故选D.
2
12
4.(2024·天津·理T 5文T 6)已知抛物线y=4x的焦点为F,准线为l.若l与双曲线
??2??2
?2=1(a>0,b>0)的??2??
两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为( ) A.√2 【答案】D
【解析】由抛物线方程可得l的方程为x=-1.
??????=??,??=-??,
??得y1=-.由{??得y2=. 由{??????=-1,??=-1,
??
??
B.√3 C.2 D.√5 ∴AB=??.
由|AB|=4|OF|得??=4,故??=2.
????
2
2??
2????
2=??+??
??2
2
=??2.∴e=√5,故选D.
??22
C:3-y=1,O
5??2
5.(2024·全国1·理T 11)已知双曲线为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐
近线的交点分别为M,N.若△OMN为直角三角形,则|MN|=( ) A. C.2√3 【答案】B
【解析】由条件知F(2,0),渐近线方程为y=±3x,
√332B.3 D.4
2
所以∠NOF=∠MOF=30°,∠MON=60°≠90°. 不妨设∠OMN=90°,则|MN|=√3|OM|. 又|OF|=2,在Rt△OMF中,|OM|=2cos 30°=√3, 所以|MN|=3.
6.(2024·全国2·理T 5文A.y=±√2x C.y=±2x 【答案】A 【解析】∵e∴??=√2.
∵双曲线焦点在x轴上, ∴渐近线方程为y=±x, ∴渐近线方程为y=±√2x. 7.(2024·全国3·理T 11)设F1,F2是双曲线C:
??2??2??????
2
??2
T 6)双曲线2??
?
??2??
2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则其渐近线方程为(
)
B.y=±√3x D.y=±2x
√3√2??2=??2=
??+??2??22
=
??2
(??)+1=3,
?
??2??
2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O
是坐标原点,过F2作C
的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF1|=√6|OP|,则C的离心率为( ) A.√5 C.√3 【答案】C
【解析】如图,过点F1作OP的反向延长线的垂线,垂足为P',连接P'F2,由题意可知,四边形PF1P'F2为平行四边形,且△PP'F2是直角三角形. 因为|F2P|=b,|F2O|=c,所以|OP|=a. 又|PF1|=√6a=|F2P'|,|PP'|=2a, 所以|F2P|=√2a=b, 所以c=√??2+??2=√3a,所以e=??=√3. 8.(2024·浙江·T2)双曲线3-y=1的焦点坐标是( ) A.(-√2,0),(√2,0) B.(-2,0),(2,0)
3
??2
2
B.2 D.√2
??
C.(0,-√2),(0,√2) D.(0,-2),(0,2) 【答案】B
【解析】∵c=a+b=3+1=4,∴c=2. 又焦点在x轴上,
∴焦点坐标为(-2,0),(2,0).
9.(2024·全国2·理T12)已知F1,F2是椭圆C:a2+
√3222
x2y2b
2=1(a>b>0)的左、右焦点,A
是C的左顶点,点P在过A
且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为( )
6A.3 C. 【答案】D
132
B.2 D.
141
【解析】∵A(-a,0),△PF1F2为等腰三角形, ∴|PF2|=|F1F2|=2c. 过点P作PE⊥x轴,
∵∠F1F2P=120°,∴∠PF2E=60°. ∴F2E=c,PE=√3c,∴P(2c,√3c). ∵kPA=,
6√3∴PA所在直线方程为y=6(x+a). ∴√3c=(2c+a).∴e==.
6
√3√3ca14
10.(2024·全国2·文T11)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为( ) A.1- 2
√3B.2-√3 D.√3-1
C.2 【答案】D
√3-1
【解析】不妨设椭圆方程为a2+∵∠F2PF1=90°,∠PF2F1=60°,
x2y2b
2=1(a>b>0), 4
∴|PF2|=c,|PF1|=√3c, ∴√3c+c=2a,即(√3+1)c=2a. ∴e=a=
c
2√3+1=
2(√3-1)(√3-1)(√3+1)=√3-1. x2
y2
11.(2024·上海·T13)设P是椭圆5+3=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为( ) A.2√2 【答案】C
【解析】由椭圆的定义可知,椭圆上的任意点P到两个焦点的距离之和为2a=2√5,故选C. 12.(2024·天津·理T 7文
??2
T 7)已知双曲线2??B.2√3 C.2√5 D.4√2
?
??2??
2=1(a>0,b>0)的离心率为
2,过右焦点且垂直于x轴的直线
与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为( ) A.4?12=1 C.3?9=1 【答案】C
【解析】由双曲线的对称性,不妨取渐近线y=??x.如图所示,|AD|=d1,|BC|=d2,过点F作EF⊥CD于点E. 由题易知EF为梯形ABCD的中位线, 所以|EF|=(d1+d2)=3. 又因为点F(c,0)到y=x的距离为因为
??222
e=??=2,c=a+b,所以
2
??2??2
??2
B.12?4=1 D.9?3=1 ??2
??2
??2??2
??2
??
12????|????-0|√??2+??2=b,所以b=3,b=9.
??2
?9=1.故选C.
2
??2
a=3,所以双曲线的方程为3
13.(2024·全国1·理T8)设抛物线C:y=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为的直线与C交于M,N两点,则?????? ·????????? =( ) ????A.5 【答案】D
【解析】易知F(1,0),过点(-2,0)且斜率为3的直线方程为y=3(x+2).联立抛物线方程y=4x,得
5
2
2
2
2
2
3
B.6 C.7 D.8
十年高考真题分类汇编(2010-2024) 数学 专题12 圆锥曲线 解析版
